Un par de problemas sobre teoría de números

Os dejo para hoy un par de problemas sobre teoría de números que he encontrado por ahí. En principio no hay relación entre ellos. Los pongo los dos juntos porque los dos me gustaron y no sabía cuál poner.

Problema 1

Dado un número primo p demostrar que 2^p+3^p no puede ser un cuadrado perfecto.

Problema 2

Dado un número natural n demostrar que 14^n+11 nunca es un número primo.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

20 Comentarios

  1. El segundo es bastante sencillo. Si usamos congruencias, se puede ver fácilmente que:
    14^n\equiv 1 \pmod{3} si n es par no nulo
    14^n\equiv 4 \pmod{5} si n es impar

    Por consiguiente:
    14^n + 11 \equiv 1 + 11 \pmod{3} \equiv 0 \pmod{3} si n es par no nulo
    14^n + 11 \equiv 4 + 11 \pmod{5} \equiv 0 \pmod {5} si n es impar

    Por tanto, 14^n + 11 es divisible o bien por 3 si n es par no nulo o bien por 5 si n es impar.

    Conclusión: 14^n + 11 no puede ser primo para ningún valor natural de n.

    El primer aún tengo que pensarlo un poco.

    Un saludo,

    Solaufein

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    • PROBLEMA 1
      i) ningún entero cumple (n^2)= -1 mod 3
      ii) p debe ser impar (p=2 no forma un cuadrado)

      Luego
      (2^p) + (3^p)=((-1)^p) mod 3=2 mod 3
      Por lo tanto no existen las soluciones buscadas,

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  2. Venga, voy a intentar hacer el primero… más que nada para practicar con Latex, a ver si soy capaz de no cagarla 😀 (ni siquiera sé si está bien el desarrollo, la de tiempo que hace que no toco los logaritmos!!)

    Supongamos que sí es un cuadrado perfecto, entonces:
    {2^p}+{3^p}={k^2}
    tomamos logaritmos:
    {/ln_{{2^p}+{3^p}} = /ln_{k^2}}
    {/ln_{2^p} /ln_{3^p} = 2{/ln_{k}}
    {{p^2}{/ln_{2}}{/ln_{3}} = 2{/ln_{k}}
    {/frac{/ln_{2+3}}{/ln_{k}}} = /frac{2}{p^2}
    {ln_{5-k}} = /frac{2}{p^2}
    {5-k} = e^{/frac{2}{p^2}}
    {/left(5-k/right)}^{P^2} = {e^2}
    {/left(5-k/right)}^p = {e}

    Pero ésto es imposible, ya que k\in\mathbb{Z}, por lo tanto {{/left(5-k/right)}^p}/in/mathbb{Z} lo cual es contradictorio con el resultado anterior, ya que {e/notin/mathbb{Z}}

    P.D.: Desde ya, ¡¡perdón por los errores!! Espero no haberme cargado el blog con este comentario!! 😀

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  3. Otro intento… snif snif 😀

    Supongamos que sí es un cuadrado perfecto, entonces:
    {2^p}+{3^p}={k^2}
    tomamos logaritmos:
    {ln{{2^p}+{3^p}} = ln{k^2}}
    {ln{2^p} ln{3^p} = 2{ln{k}}
    {{p^2}{ln{2}}{/ln{3}} = 2{ln{k}}
    {{ln{2+3}}/{ln{k}}} = {{2}/{p^2}}
    {ln{5-k}} = {2}/{p^2}
    {5-k} = e^{{2}/{p^2}}
    {(5-k)}^{P^2} = {e^2}
    {(5-k)}^p = {e}

    Pero ésto es imposible, ya que k pertenece a Z, por lo tanto (5-k)^p también pertenece a Z, lo cual es contradictorio con el resultado anterior, ya que “e” es irracional.

    Que conste que ahora lo estoy escribiendo deliberadamente mal para ver si consigo arreglarlo… según mi editor de Latex, el comentario anterior debería haber funcionado :S

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  4. Si p es primo, o es 2, o es 5, o impar no acabado en 5.

    Para p=2 4+9=13 no es cuadrado

    Para p=5 32+243=275 no es cuadrado

    Para resto de p

    2^p \bmod 5=2 si p=4k+1 k \in \mathbb{N}
    2^p \bmod 5=3 si p=4k+3 k \in \mathbb{N}
    3^p \bmod 5=3 si p=4k+1 k \in \mathbb{N}
    3^p \bmod 5=2 si p=4k+3 k \in \mathbb{N}

    ergo

    2^p+3^p \bmod 5=0 si p=2k+1 k \in \mathbb{N}

    Para demostrar el enunciado, bastará con demostrar que para cualquier p impar no divisible por 5, se cumple que

    2^p+3^p \bmod 25\not=0

    Nos podemos manos a la obra:

    2^p \bmod 25=2 si p=20k+1 k \in \mathbb{N}
    2^p \bmod 25=4 si p=20k+2 k \in \mathbb{N}
    2^p \bmod 25=8 si p=20k+3 k \in \mathbb{N}
    2^p \bmod 25=16 si p=20k+4 k \in \mathbb{N}
    2^p \bmod 25=7 si p=20k+5 k \in \mathbb{N}
    2^p \bmod 25=14 si p=20k+6 k \in \mathbb{N}
    2^p \bmod 25=3 si p=20k+7 k \in \mathbb{N}
    2^p \bmod 25=6 si p=20k+8 k \in \mathbb{N}
    2^p \bmod 25=12 si p=20k+9 k \in \mathbb{N}
    2^p \bmod 25=24 si p=20k+10 k \in \mathbb{N}
    2^p \bmod 25=23 si p=20k+11 k \in \mathbb{N}
    2^p \bmod 25=21 si p=20k+12 k \in \mathbb{N}
    2^p \bmod 25=17 si p=20k+13 k \in \mathbb{N}
    2^p \bmod 25=9 si p=20k+14 k \in \mathbb{N}
    2^p \bmod 25=18 si p=20k+15 k \in \mathbb{N}
    2^p \bmod 25=11 si p=20k+16 k \in \mathbb{N}
    2^p \bmod 25=22 si p=20k+17 k \in \mathbb{N}
    2^p \bmod 25=19 si p=20k+18 k \in \mathbb{N}
    2^p \bmod 25=13 si p=20k+19 k \in \mathbb{N}
    2^p \bmod 25=1 si p=20k k \in \mathbb{N}

    3^p \bmod 25=3 si p=20k+1 k \in \mathbb{N}
    3^p \bmod 25=9 si p=20k+2 k \in \mathbb{N}
    3^p \bmod 25=2 si p=20k+3 k \in \mathbb{N}
    3^p \bmod 25=6 si p=20k+4 k \in \mathbb{N}
    3^p \bmod 25=18 si p=20k+5 k \in \mathbb{N}
    3^p \bmod 25=4 si p=20k+6 k \in \mathbb{N}
    3^p \bmod 25=12 si p=20k+7 k \in \mathbb{N}
    3^p \bmod 25=11 si p=20k+8 k \in \mathbb{N}
    3^p \bmod 25=8 si p=20k+9 k \in \mathbb{N}
    3^p \bmod 25=24 si p=20k+10 k \in \mathbb{N}
    3^p \bmod 25=22 si p=20k+11 k \in \mathbb{N}
    3^p \bmod 25=16 si p=20k+12 k \in \mathbb{N}
    3^p \bmod 25=23 si p=20k+13 k \in \mathbb{N}
    3^p \bmod 25=19 si p=20k+14 k \in \mathbb{N}
    3^p \bmod 25=7 si p=20k+15 k \in \mathbb{N}
    3^p \bmod 25=21 si p=20k+16 k \in \mathbb{N}
    3^p \bmod 25=13 si p=20k+17 k \in \mathbb{N}
    3^p \bmod 25=14 si p=20k+18 k \in \mathbb{N}
    3^p \bmod 25=17 si p=20k+19 k \in \mathbb{N}
    3^p \bmod 25=1 si p=20k k \in \mathbb{N}

    Con lo cual, vemos que

    2^p+3^p \bmod 25=0 si p=20k+5 o p=20k+15

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  5. que bueno lo de la expresión “ergo” 🙂 🙂 🙂 🙂

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  6. mimetist dos cosas:

    1.- Hay que usar \, no /
    2.- El plugin de Vista previa lo instalé por algo. ¡¡Úsala!!

    😀

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  7. Un pequeño apunte en mi demostración del problema 2, que lo he escrito en clase y al volver me he dado cuenta.

    En la resolución afirmo que 14^n \equiv 1 \pmod{3} si n es un número par no nulo. Sin embargo, para el caso n = 0 también se cumple, ya que:
    14^0 = 1 \Rightarrow 14^0 + 11 = 1 + 11 = 12 \equiv 0 \pmod{3}

    Por tanto, 14^n + 11 no es un número primo para ningún valor n \ge 0.

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  8. Para el problema 1, propongo una demostración de que 2^n+3^n no es cuadrado perfecto para cualquier n natural.

    Si n es impar mayor que 1(para n=1 no es cuadrado), 2^n+3^n\equiv 3^n\equiv 3 \pmod 4, pero todo cuadrado es de la forma 4k+1 o 4k, por lo que con n impar nunca tendremos un cuadrado.

    Si n es par, puede ser
    n\equiv 2\pmod 4, 2^n\equiv 3^n\equiv 4\pmod 5
    n\equiv 0\pmod 4, 2^n\equiv 3^n\equiv 1\pmod 5
    Si los sumamos, tenemos que 2^n+3^n es de la forma 5k+2 o 5k+3, pero todo cuadrado es de la forma 5k, 5k+1 o 5k+4, por lo que con n par nunca hay cuadrado.

    Dado que 2^n+3^n no es cuadrado para n par, y tampoco lo es para impar, no sera cuadrado para ningun valor natural de n.

    En el problema 2, llegué a la misma solución que Solaufein.

    Saludos 🙂

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  9. Mi pregunta es si existe manera de demostrar estas dos cuestiones sin utilizar congruencia de módulo.

    gracias.

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  10. Por similitud con el primer ejercicio que se proponía en el post, les propongo la siguiente cuestión, a ver qué se puede hacer…

    Sea f(n)=5^n-3^n-2^n. Probar que

    (1) p divide a f(p) para todo primo p.

    (2) p^{k+1} divide a f(n) si n es de la forma n=p^k, con p=2,3,5 y k\geq 0.

    (3) p^{k+2} divide a f(n) para n=p^k, con p=19 y k\geq 0.

    A ver si alguien puede aportar algo a la (3) en particular.

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  11. Gracias por el enlace, Omar-P. No veo sino valores numéricos de la sucesión. ¿Hay en alguna parte comentarios sobre los divisores primos de los elementos?

    En cuanto a los ejercicios de arriba, (1) y (2) son sencillos de probar, pero el (3) me tiene en jaque ahora mismo.

    De hecho el apartado (2) se puede refinar algo más en el caso p=2: 2^{k+2}|f(2^k),\quad\forall k\geq 2

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  12. respecto al problema 1 llegue a un resultado mas general:

    SI $p$ es primo, $a$ y $n$ enteros positivos tal que $2^p+3^p=a^n$ entonces necesariamente $n=1$.

    no puse la demostracion por si alguien quiere resolverlo…

    porque no aparece en LaTeX?

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  13. jad, porque no te has leído las instrucciones para escribir en LaTeX aquí que aparece justo encima de la caja de texto de los comentarios 🙂

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  14. respecto al problema 1 llegue a un resultado mas general:

    SI p es primo, a y n enteros positivos tal que 2^p+3^p=a^n entonces necesariamente n=1. Es decir, no es ni cuadrado, ni cubo, etc. de un entero.

    no puse la demostracion por si alguien quiere resolverlo…

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  15. He intentado demostrar los dos problemas sin utilizar congruencias explícitamente, sólo matemáticas de las que se dan en secundaria.
    Para el primero he desarrollado la expresión así: 2^n+3^n=2^n+(2+1)^n=\ldots.
    Para el segundo he intentado demostrar que 14^n+11 es un múltiplo de tres si n es par (Si n es impar 14^n acaba en 4 y entonces 14^n+11 acabará en 5, con lo que 14^n+11 no será primo).
    En este enlace se pueden ver las soluciones a los dos problemas.
    http://lasmatematicas.eu/docs/problemas/numeros_01.pdf
    No sé si habrá algún error o alguna fisura en la prueba de los problemas. Si así fuera me gustaría que se me comunicara aquí mismo. Estoy trabajando problemas de este tipo (aunque a un nivel más inferior) con algunos de mis alumnos de bachillerato.
    Muchas gracias.

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