Un problema con números combinatorios

Vamos con el problemita de esta semana:

Sean a,b,c números naturales tales que 0\leq a\leq b+c. Hallar el valor de la suma

\displaystyle{\sum_{i=\max\{0,a-c\}}^{\min\{a,b\}} {b \choose i} \cdot {c \choose a-i}}

Recuerdo que \displaystyle{{n \choose k}} es el número combinatorio n sobre k y se define como:

\displaystyle{{n \choose k}= \cfrac{n!}{k! \cdot (n-k)!}}

Que se os dé bien.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

4 Comentarios

  1. Concuerdo con aguilui. Dado que (1+x)^b(1+x)^c=(1+x)^{b+c}, basta comparar los coeficientes de x^a (0\leq a\leq b+c) en cada miembro de la igualdad.

    Publica una respuesta
  2. Conicido con Aguilui. Tomamos un conjunto con b+c elementos. El número de elecciones de a elementos de este conjunto es \binom{b+c}{a}. Ahora dividámoslo en dos conjuntos, con b y c elementos. De cada elección del conjunto inicial, llamemos i el número de elementos elegidos que forman parte de esos b elementos; el resto de a-i estarán entre los c restantes. Por cada una de las \binom{b}{i} maneras de elegir esos i elementos, habrán \binom{c}{a-i} maneras de elegir los restantes. Multiplicando y sumando nos queda la fórmula del enunciado.

    Publica una respuesta

Trackbacks/Pingbacks

  1. Bitacoras.com - Información Bitacoras.com... Valora en Bitacoras.com: Vamos con el problemita de esta semana: Sean números naturales tales que . Hallar…

Puedes utilizar código LaTeX para insertar fórmulas en los comentarios. Sólo tienes que escribir
[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
o
$latex código-latex-que-quieras-insertar$.

Si tienes alguna duda sobre cómo escribir algún símbolo puede ayudarte la Wikipedia.

Y si los símbolos < y > te dan problemas al escribir en LaTeX te recomiendo que uses los códigos html & lt; y & gt; (sin los espacios) respectivamente.

Envía un comentario

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos obligatorios están marcados con *