Un problema sobre caballeros y bufones

Os traigo hoy uno de esos problemas en los que hay gente que dice la verdad siempre y gente mentirosa por naturaleza. Ahí va el enunciado:

Diez personas están sentadas en círculo en una mesa redonda. Algunas de ellas son caballeros, que siempre dicen la verdad, y otras son bufones, que siempre mienten.

En un momento, dos personas dicen:

Las dos personas que están sentadas a mi lado (la de su izquierda y la de su derecha) son bufones.

Y las otras ocho personas dicen:

Las dos personas que están sentadas a mi lado (la de su izquierda y la de su derecha) son caballeros.

La pregunta es: ¿cuántos caballeros podría haber en la mesa?

A por él.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

18 Comentarios

  1. Se me ocurre la disposición, en la que no he encontrado absurdos por ahora, siguiente: colocamos a dichos caballeros y bufones según un polígono regular de 10 lados y comenzando desde el vértice superior y en sentido de las agujas del reloj, así: BBCBBBCBBB; entonces esta disposición es válida siempre que los dos primeros que se levanten sean los dos C de esa disposición. Con 1 solo caballero también funcionaría, claro, siempre que los dos primeros que se levanten sean el caballero C y uno de los dos bufones B inmediatamente a su lado. A partir de 3 caballeros, se dispongan como se dispongan y se levanten cuando se levanten, me resulta imposible… Creo.

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    • Yo creo que no tiene solución. La clave está en las personas que dicen estar rodeadas de bufones. Si uno es bufón, significa que está rodeado de dos caballeros, que dicen la verdad, pero esto no es posible porque los caballeros tendrían que decir que es bufón y serían 3. Si por el contrario es caballero, debería tener a dos bufones a cada lado. Sin embargo, estos dos bufones deberían decir que él es bufón, y no puede ser porque de nuevo serían 3.

      Solución: No puede ocurrir.

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      • Que los bufones mientan al decir que los dos a cada lado suyo sean bufones no implica que ambos sean caballeros, también cabe que sean un bufón y un caballero.

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  2. Partiendo del caso en que las dos primeras personas son bufones, las dos personas que tendrán a su lado serán caballeros, luego, uno de esos caballeros dirá que las personas situada a sus lados son caballeros (segundo dato del problema) cosa que no es cierta ya que hemos partido de que al menos una es un bufón, luego no se cumple esta premisa.

    Para el caso contrario en el que partimos de que los dos primeros son caballero-caballero o cualquier otro del tipo como caballero-bufón llegamos a misma incongruencia en el polígono imaginario de 10 aristas.

    Por tanto, el problema no tiene solución.

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    • La respuesta son 1 o 2 caballeros (los 2 que dicen tener bufones a su lado). Llamemos A al conjunto de las 2 personas que dicen tener bufones a los lados y B al complemento. Supongamos que en B hay un caballero esto implica que los 2 a su lado son también caballeros y que también pertenecen a B (Si perteneciera a A y siendo caballero sus vecinos deberían ser bufones y sabemos que al menos uno no lo es). Si ahora de nuestro caballero en B original nos comenzamos a mover hacia la derecha (o izquierda) y repitiendo la misma lógica llegaríamos a que B contiene las 10 personas en la mesa lo cual es falso y por tanto también nuestra asumpcion de que había un caballero en B. Ahora si los 2 las personas en A estuvieran sentadas consecutivas y sabiendo que las otras 8 son bufones uno tendría que ser bufon y otro caballero (2 caballeros implica que ambos estarían mitiendo al decir que el otro es bufón y 2 bufones implicaría que ambos estan diciendo la verdad ya que los 10 serían bufones), el caballero dice que ambos lados son bufones y sería cierto y el bufon diria lo mismo y sería falso pues al menos su vecino de A es caballero. De la misma manera es trivial comprobar que si ambas personas de A no están consecutivos tienen que ser ambos caballeros.

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  3. Dadle otra pensadita que vais mal.

    Y ojo que el problema no pregunta cuantos caballeros hay, sino cuantos puede haber.

    Se espera que deis una respuesta del tipo “podría haber 2, 3 o 4 caballeros” (esto es sólo un ejemplo, no la respuesta correcta).

    Edito: perdon perdon, no entendí la respuesta de fandral, creia que decía que solo podia haber dos.

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    • Para completar la respuesta de fandral, es fácil demostrar que los ocho que se levantan en segundo lugar son bufones.

      Si uno de ellos fuera caballero también lo serían los dos que están a sus lados, y ninguno de estos dos podría ser uno de los que se levantaron en primer lugar (porque de serlo, habría mentido). Tenemos tres caballeros juntos entonces, pero lo mismo se puede decir de los dos que están al lado de ellos, por tanto ya tenemos cinco (sin rima), y así hasta llenar la mesa, contradicción.

      Uno o dos caballeros, por tanto.

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      • Por reducción al absurdo es cierto que con eso basta, es lo único que pide el problema. Pero se me antoja relevante dar una solución constructiva, explícita, de cómo han de estar dispuestos: tiene que haber como mínimo un espacio entre los dos caballeros de tres asientos ocupados por bufones, y tiene que ser que sean precisamente estos dos caballeros los que se levanten en el primer turno. De otro modo es imposible.

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        • Solo pretendía completar tu razonamiento inicial. Tú ya demostraste que no podían ser cero, y que sí podían ser uno o dos. Faltaba demostrar que no podían ser tres o mas.

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        • No necesariamente tienen que haber 3 bufones en el medio, con solo uno basta. La reducción al absurdo es importante para garantizar que los 8 segundos en pararse son todos bufones. Después solo hay que diferenciar los casos de cuando los dos primeros estan juntos o separados (sin importar por cuantos espacios). Esto no solo demuestra también ofrece la posible distribución.

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          • Disculpa, son necesarios 2 bufones de por medio al menos. Uno solo estaria diciendo verdad al decir que sus dos vecinos son caballeros. Pero con 2 al menos ya esa afirmacion seria falsa y podrian ser bufones.

          • Sí, tienes razón Cabrera. Dos y no tres entre ellos es ya suficiente.

  4. creo que puede haber 3 caballeros. De hecho tengo una solución para este caso: llamando C a los caballeros y B a los bufones, la siguiente distribución creo que cumple las condiciones:
    CBBBCBBCBB

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    • No dices quienes son los dos que se levantan en primer lugar, pero no importa.

      En esa distribución, al menos uno de los tres caballeros se levantó en segundo lugar, y sin importar cual sea, mintió.

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  5. Un momento.
    No sé si el problema está correctamente escrito, pero los datos son:
    – Hay 10 personas.
    – Cada uno tiene un acompañante por lado (derecha e izquierda)
    – Uno toma la palabra y afirma que le rodean bufones (dos mentirosos)
    – 8 continúan y afirman tener a caballeros a su lado (dos sinceros)
    Terminando en la idea de que, por lo menos, dos personas no hablaron la segunda vez y, uno solo, mantuvo silencio durante toda la conversación.

    Por ahora, solo usaré papel y lápiz y volveré en un rato.

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  6. Después de una corta meditación, pensé en una respuesta rápida: Hay un solo caballero.
    Esto se debe a la primera afirmación: “A mi lado, dos bufones”. Dejando que este (el caballero) sea el único en decir la verdad durante toda la conversación. Ya que, para la segunda afirmación: “A mi lado hay dos caballeros”, si terminase en verdad, crearía la necesidad de una cadena continua de caballeros, por lo que, entraría en negación con la primera afirmación, la cual, se supone fue dicha por un caballero, haciendo que no se cumpla la condición de “siempre sinceridad”.
    Por otro lado, si resulta ser una mentira, significa que (los ocho que hablaron) son bufones. Haciendo que la primera condición sea cumplida y, a su vez, la segunda también.

    Una pequeña y modesta ilustración

    c = caballero
    b = bufón

    —– c —–
    – b —- b –
    – b —- b –
    – b —- b –
    – b —- b –
    —– b —-

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  7. Una cosa a añadir a mi apresurada respuesta es: La incógnita por datos.
    Ya que, en el texto dice que responden 8 personas, dejaría a un personaje mudo. Creando estas posibilidades:

    —– c —–
    – b —- b –
    – b —- b –
    – b —- b –
    – b —- b –
    —– b —-

    y

    —– c —–
    – b —- b –
    – b —- b –
    – c —- b –
    – b —- b –
    —– b —-

    Ya que, un personaje mudo no puede ni mentir ni decir la verdad. Siendo esta una incógnita que se resolvería fácilmente con máximos y mínimos. Habría un mínimo de un caballero y máximo de dos.

    Eso claro, si no hubo error en el planteamiento del problema.

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