Un problema sobre la función phi de Euler

Hace unos días hablábamos de la función $\varphi$ de Euler. Como ya sabemos qué es exactamente esa función, es buen momento para proponer este problema que me envió ZetaSelberg hace un tiempo:

Siendo $\varphi$ la función de Euler, demostrar que existe una secuencia creciente de números $n_k$ tal que:

$\varphi (n_k) \ll \cfrac{n_k}{\log{(\log{(n_k)})}}$

Que se os dé bien.

7 comentarios

josejuan | 6 de July de 2010 | 11:46

Conjetura:

“Los números que son producto de los $k$ primeros números primos es una secuencia que cumple el enunciado” (para $n_{k}\geq 2\times 3$ ).

Quedando:

$\Pi _{i=1}^{k}(1-\frac{1}{p_{i}})\ll \frac{1}{\ln \ln \Pi _{i=1}^{k}p_{i}}$

lo cual me suena a algo de Euler pero ni idea…
Trackback | 6 Jul, 2010

Bitacoras.com
josejuan | 6 de July de 2010 | 14:19

Numéricamente, la relación (que es la misma que antes para esta sucesión de números) tiene asíntota cerca de 1,8

$\frac{\frac{\displaystyle{\prod_{i=1}^{k}p_{i}}}{\ln \ln \displaystyle{\prod_{i=1}^{k}p_{i}}}}{\displaystyle{\prod_{i=1}^{k}(1-p_{i})}}=1,80386617879322 \ldots$
josejuan | 6 de July de 2010 | 14:19

(se fué al carajo el símbolo “producto de i a k”)…
Abraham | 6 de July de 2010 | 22:51

alguien que me ayude con este problima ràpido…

Determinar dos enteros p y q tales que:

(p/q) – 10^-5 < √ 2 < (p/q) + 10^-5
josejuan | 6 de July de 2010 | 23:13

Abraham,

raíz de 2 = 1,414213562373095 por tanto

1414213562373095 / 1000000000000000 = 1,414213562373095

y así queda resuelto tu “problima” con mucha más precisión de la pedida.
frank | 28 de September de 2010 | 05:02

Interesante….voy a tratar de analizarlo…ummm