Un problema sobre polinomios con coeficientes enteros

Os dejo hoy el problema de la semana, que en esta ocasión es uno que me envió nuestro lector Andreu hace ya bastante tiempo. Ahí va:

Caracterizar los polinomios f con coeficientes enteros y los números enteros x tales que f(x)=2, sabiendo que f(0)=f(2)=1.

Que se os dé bien.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

8 Comentarios

  1. @Rubén: La pregunta (interpreto) es:
    Tienes un polinomio (genérico, f(x)) que cumple que en x=0 y x=2 vale 1
    f(0)=f(2)=1

    Ahora, la pregunta es: ¿Para qué valores de x, el polinomio vale 2?

    En todo esto, x es un número entero.

    Y ahora consideraciones propias: Supongo que será más fácil salirse de los Enteros y tratar el polinomio en los Reales, sabemos que hay, al menos, un extremo local entre el 0 y el 2… pero por ahora no he llegado a más… tiempo!

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  2. f(x) = z + ax + bx^2 + … + jx^n.

    f(0) = 1 implica z=1

    f(x) = 1 + ax + bx^2 + … + jx^n

    f(2) = 1 implica 2a + 4b+ … + j2^n = 0, o sea, a = -2(b + 2c + … + j2^n-1) (para después)

    si f(x) = 2, con x entero, entonces ax + bx^2 + … + jx^n = 1 lo cual sólo es posible con coeficientes enteros

    para x = 1 o x = -1, pues el término izquierdo es suma de múltiplos de x (todos los coeficientes son enteros),

    luego es múltiplo de x y 1 sólo es múltiplo de 1 y -1.

    En el caso x = -1 tenemos 3b + 3c + 9d + 15e + … = 1 donde todos los coeficientes de la izquierda son

    múltiplos de 3. Esto no es posible con b,c,d,… enteros.

    Para x = 1 tenemos

    en grado 3: x^3 – 4x^2 + 4x + 1

    en grado 4 : 1 + ax+ bx^2 + cx^3 + dx^4
    condiciones a = -8d – 4c – 4b
    b =-7d -3c -1

    Más después de comer 😉

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  3. Por las condiciones sobre f tenemos f(x) = 1 + x(x-2)g(x), para que se de f(x) = 2 debe ser x(x-2)g(x) = 1, y como los tres terminos x, x-2 y g(x) deben ser enteros, esto fuerza a que todos sean \pm 1, por lo que debe ser x=1, x-2 = -1, g(1) = -1, por lo que g(x) = -1 + (x-1)h(x), resultando
    f(x) = 1 - x(x-2) + x(x-1)(x-2)h(x)
    donde h(x) es un polinomio con coeficientes enteros arbitrario.

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  4. Si f(x) = a_n*x^n + … + a_1*x + a_0, de f(0) = 1 tenemos que a_0 = 1. Si f(2) = 1,

    f(x) = (x – 2)g(x) + 1

    siendo g(x) un polinomio también de coeficientes enteros.

    ¿Para que valores c, es f(c) = 2?

    f(c) = (c – 2)g(c) + 1 = 2 ===> (c – 2)g(c) = 1 ==> c – 2 = g(c) = +/- 1

    Entonces, c = 1 ó 3 (ya se que la RAE suprimió el acento de esta o, pero yo prefiero ponerlo …)

    Podemos añadir que g(1) = -1 y g(3) = 1. Y creo que no puede añadirse nada más. El polinomio g(x) puede ser el de primer grado cuya gráfica pasa por esos puntos, el de segundo grado quu en x = 2 toma cualquier valor entero, etc ….

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  5. Me parece que se refiere a que de f \big (C_n\big ) =2, siendo C_n cualquier coeficiente del polinomio. Igual no tengo idea de la respuesta .yaomin

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  6. Supongamos que tenemos un polinomio f en los enteros, tal que existe un valor x que da f(x)=2. Entonces tenemos que
    x-0|f(x)-f(0)=2-1=1
    x-2|f(x)-f(2)=2-1=1
    Entonces la unica solución seria x=1. Por lo tanto tenemos f(0)=1,f(1)=2,f(2)=1.

    Consideremos el polinomio g(x)=f(x)-(2-(x-1)^2). Notemos que los coeficientes de g son enteros. Tenemos que g(0)=1-(2-(0-1)^2)=0, g(1)=2-(2-(1-1)^2)=0 y g(2)=1-(2-(2-1)^2)=0. Entonces g(0)=g(1)=g(2)=0.

    Por lo tanto tenemos que g(x)=x(x-1)(x-2)h(x), para cierto h(x) en los enteros. Por lo tanto, si tenemos un polinomio que cumpla las hipotesis y f(x)=2, entonces f(x)=g(x)+(2-(x-1)^2)=x(x-1)(x-2)h(x)+1 + 2 x - x^2 y x=1.

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  7. Como

    p(0)=p(1)=1

    tenemos que,

    p(x)=x(x-2)q(x)+1

    para un cierto polinomio q(x) (con coeficientes enteros), entonces,

    p(x)=2 \Leftrightarrow x(x-2)q(x)=1

    como q(x) toma valores enteros en enteros,

    x(x-2)=1 o x(x-2)=-1

    es decir,

    x=1 y tanto x(x-2) como q(x) son -1, así que,

    q(x)=(x-1)r(x)-1

    para un cierto polinomio r(x) con coeficientes enteros, por tanto,

    p(x)=x(x-2)((x-1)r(x)-1)

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