Un problema sobre verdades y mentiras

Hoy, cual Raymond Smullyan, os traigo un problema sobre verdades y mentiras, sobre veraces infalibles y mentirosos compulsivos. Me lo envió Sinuhé por mail y, aunque no es difícil, creo que es interesante para pensar, para darle vueltas al coco. Ahí va:

Imaginemos que en una sala están reunidas varias personas con una característica muy especiala: cada una de esas personas siempre dice la verdad o siempre miente, esto es, no hay personas que a veces mientan y a veces no.

En un momento de la reunión una de esas personas pronuncia las siguientes dos frases:

  1. Aquí no hay más de tres personas.
  2. Todos los que estamos en esta reunión somos mentirosos.

A continuación, otra de las personas dice lo siguiente:

  1. Aquí no hay más de cuatro personas.
  2. No todos los aquí presentes somos mentirosos.

Y posteriormente otra persona distinta a las dos anteriores afirma:

  1. Aquí hay cinco personas.
  2. En esta sala hay tres personas mentirosas.

Y ahora las cuestiones: ¿Cuántas personas había en esa sala? ¿Cuántas de ellas eran mentirosas?

A por él, que no es difícil.


Relacionado:

Twedledum, Twedledee y Twedledoo


Tercera aportación a la Edición 2.X del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es el blog Resistencia Numantina.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

23 Comentarios

  1. El primero miente ya que si su segunda afirmación fuera verdad el no estaría mintiendo y estaríamos ante una contradicción. Por tanto hay mas de 3 personas en la sala.

    Si el ultimo dijera la verdad, entonces la primera afirmación de la segunda persona seria mentira y la segunda afirmación de esa misma persona seria verdad (ya que el ultimo no estaría mintiendo) lo cual es una contradicción, por tanto el ultimo miente, no hay 5 personas en la sala y no hay 3 mentirosos.

    Si la segunda persona dijera la verdad, hay 4 personas en la sala (mas de 3 de acuerdo a mi primer párrafo y como máximo 4 de acuerdo a la segunda persona), de las cuales el no miente, hay al menos 2 mentirosos (el primero y el tercero) y no hay 3 mentirosos (de acuerdo con mi segundo párrafo), tampoco 4 porque la segunda persona en ese caso también estaría mintiendo y llegaríamos a una contradicción.

    Por tanto si la segunda persona no miente hay 4 personas 2 mentirosos y 2 que no lo son, pero no soy capaz de asegurar que no mienta, ese trabajo se lo dejo a otro :P.

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  2. Use contradicción 3 veces en mi comentario, se nota que no dormí anoche.

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  3. Entiendo que el primero miente, por lo que dice Santiago. Y también que el segundo ha de decir la verdad (si no, su 2ª afirmación diría lo mismo que la 2ª del primer sujeto).

    De esas dos primeras personas deducimos el número (4). Y la última nos da la clave de cuantos mienten. Como de su 1ª afirmación deducimos que miente, nos vamos a la 2ª para obtener que son dos los mentirosos.

    Total, igual que el anterior compañero: 4 personas, de las que 2 son unos embusteros de tomo y lomo

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  4. Hay 4, el primero miente como bien ha comentado el primero, el segundo dice la verdad, el tercero miente, y el cuarto que está callado dice la verdad (para que se cumpla el hecho de que el tercero miente, si no habría 3 mentirosos.

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  5. *como bien ha comentado el primero me refiero a:
    *como bien han dicho en el primer comentario

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  6. 1. Si hay 3 o menos personas el primero dice la verdad… luego su segunda afirmación es cierta y él debe mentir. Contradicción.

    2. Si hay 5 personas, el tercero dice la verdad, luego en la habitación hay 3 personas mentirosas: Las dos primeras en hablar y alguien que no dice ni \mu … sin embargo, si la segunda persona miente, significa que todos los que hay en la sala mienten. Contradicción.

    3. Si hay más de cinco personas en la sala, todos mienten… y, por lo mismo que antes, la segunda persona lleva a Contradicción.

    Finalmente, si hay 4 personas la segunda dice la verdad en su primera afirmación, luego la segunda debe ser cierta también y al menos hay alguien que dice la verdad (él mismo).

    Mi Solución:
    1. Hay cuatro personas en la sala.
    2. La primera y la tercera en hablar están mintiendo.
    3. La segunda dice la verdad.
    4. No tenemos suficiente información sobre la cuarta persona, pero bastará preguntarle si está vestid@ para ver si miente o no.

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  7. Vaya, como siempre, no doy una cuando comento en Gaussianos xD.

    Obviamente, para que el tercero mienta la persona que no habla debe decir siempre la verdad. :-p

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  8. “Por tanto si la segunda persona no miente hay 4 personas 2 mentirosos y 2 que no lo son, pero no soy capaz de asegurar que no mienta, ese trabajo se lo dejo a otro. ”

    Santiago: El segundo no puede mentir: si la afirmación “Todos los que estamos en esta reunión somos mentirosos” se contradice a si misma y por tanto es falsa seguro, “No todos los aquí presentes somos mentirosos” debe ser cierta obligatoriamente. 😉

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  9. La cuarta persona debe decir la verdad; de otra manera, la 2º afirmación de la 3º persona sería verdad y esto no puede ser (o miente siempre o dice siempre la verdad).
    Entonces quedan 4 personas, 2 dicen la verdad, 2 mienten.
    El primero y el tercero mienten, el 2º y el que no habla dicen la verdad.

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  10. Ya está todo dicho, pero me hacía ilusión comentaros que llegué a la solución, eso sí, en 30 minutillos jejeje. Un poco lento pero bueno, no está mal para ser de los primeros problemas lógicos a los que me enfrento.

    Estaba bastante liado con las 2 primeras personas, ha sido llegar a la tercera y empezar a deducir todo… básicamente gracias a :

    -En esta sala hay tres personas mentirosas.

    Supongo que él dice la verdad, entonces hay 5 personas como él dice.
    Si hay 5 personas, y él ha hablado y no es mentiroso (según mi suposición), entonces lo que dice 1 y 2 “aquí no hay más de 3 personas” y “aquí no hay más de 4 personas” respectivamente es MENTIRA, puesto que he supuesto que 5 dice la verdad y hay 5 personas. Como 1 y 2 son mentirosos, pasamos a leer su segunda información:
    1 dice: “Todos los que estamos en esta reunión somos mentirosos” Como él miente -> “No todos los que estamos en esta reunión somos mentirosos”. Perfecto, por ahora se cumple, el 5 no es mentiroso.
    Pero ahora viene lo bueno, 2 dice: “No todos los aquí presentes somos mentirosos” -> “Todos los aquí presentes somos mentirosos” (Eh!!, que 5 no es mentiroso, que 5 dice la verdad -bueno, le llamo 5 npor lo que dice, pero es la persona 3 XD), por lo tanto, hemos llegado a una contradicción. Es decir, 5 tiene que estar mintiendo. A partir de aquí viene todo rodado.
    Si 5 está mintiendo, no hay 5 personas y no hay 3 personas mentirosas. Perfecto, buena información.

    Nos vamos a lo que dice la persona 1, supongo que dice la verdad.
    Aquí no hay más de 3 personas. Vale, como mucho hay 3 personas (en realidad, hay 3 porque hablan 3 personas distintas). Y dice que todos los que estamos en esta reunión somos mentirosos, por lo tanto las 3 personas son mentirosas -CONTRADICCIÓN!, 5 miente por tanto no hay 3 personas mentirosas. Por lo tanto-> 1 está mintiendo. Ya sabemos que hay más de 3 personas y no hay 5 personas, y no todos son mentirosos. Perfecto. Por último, nos vamos a lo que dice 2 y suponemos que miente para llegar a la contradicción final:

    Él dice: -Aquí no hay más de 4 personas -> Hay más de 4 personas-
    – No todos los aquí presentes somos mentirosos > Todos somos mentirosos. Aquí está la contradicción, no todos omos mentirosos porque ese dato lo hemos sacado de la contradicción anterior. Así que, persona 2 DICE LA VERDAD:

    -Aquí no hay más de 4 personas-> como 3 o menos no puede haber, hay 4 personas.
    -No todos los aquí presentes somos mentirosos -> Efectivamente, no todos somos mentirosos, ¿cuántos entonces? Pues mínimo hay 2 (persona 1 y 3), pero 3 no puede haber por contradicción anterior, por lo que hay 2 mentirosos (1 y 3) y 2 que dicen la verdad (2 y 4).

    Ufff, supongo que nadie lo leerá pero me gustará dejarlo aquí para cuando pase el tiempo ver cómo lo había resuelto xD.
    Hace poco empezaron a interesarme este tipo de problemas y las matemáticas en general, aprovecho para daros gracias por el blog y que sigáis con el trabajo.

    Saludos y perdón por el tocho.

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  11. Pues a mí no me ha parecido muy difícil, pero veo muchos resultados distintos y me hacéis dudar.

    1. Miente.
    2. Dice la verdad.
    3. Miente.

    De esos resultados se concluye que hay 4 personas en la sala y que de ellas mienten exactamente 2.

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  12. Hay 4 personas.
    La 1 Miente, -> NP > 3 (NP número de personas ) y en la sala hay M mentirosos y V ” Verdadosos ”
    La 2 es V pues afirma la seguna conclusión que se deduce de 1 y por tanto NP<= 4
    Luego 3< NP <= 4 y por tanto NP = 4
    El 3 Miente pues ya sabemos que hay 4 personas y no 5. Y esto implica que el número de persona mentirosas no puede ser 3 y por tanto el número de mentirosos es 2 que son el 1 y el 3 que han hablado.
    Luego hay 4 personas. 2 que mienten y 2 que dicen la verdad

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  13. ¿Y bueno cual es la solución oficial? …creo que ya es suficiente el tiempo y comentarios para que el autor del blog de la explicación final

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  14. Madeleiene, el primero y el tercero mentirosos y el segundo y el cuarto “verdadosos”. Hay varias personas que lo han explicado bastante bien, por ejemplo mimetist uniendo sus dos comentarios.

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  15. Pero… el primero o siempre dice la verdad o siempre miente, igual que todos… si dice que todos mienten, dice que él mismo está mintiendo, entonces puede haber dos casos…
    1. Que el sea de los que dicen la verdad. Por lo tanto esa frase sería mentira: contradicción
    2. Que él sea de los que mienten. Por lo tanto esa frase sería verdad: contradicción.

    Entonces tendríamos una linda paradoja y el problema sería irresoluble, pero veo que todo el mundo ha concluido en que el primero es mentiroso. No tengo ni idea de porqué. ¿Alguien me puede iluminar?

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  16. DR6, que él sea mentiroso no implica que su segunda frase sea verdad. Dice “Todos los que estamos en esta reunión son mentirosos”, y si él es mentiroso esta frase podría ser falsa con el simple hecho de que alguno de los demás fuera de los que dicen la verdad, con lo que no llegaríamos a ninguna contradicción.

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  17. Bueno, no puedo hacer muchos comentarios. Todo lo que había pensado ya lo han escrito antes.
    Buen problema. Quizá se lo de para jugar a mi alumnos de este año.

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  18. Buenas deducciones la de los anteriores, si realmente hay número diferente de ecuaciones y de incógnitas, entonces el problema tiene dos estados de solución: o hay 3 personas si se cumple la proposición de que las dos frases de cada persona tiene que ser mentira o verdad o hay cinco personas si el mentiroso es tan mentiroso que en una frase miente y en otra dice la verdad lo que correspondería al tercero, me explico , el primero miente, el segundo no miente y el tercero miente o dice la verdad, lo cual se descarta por el segundo con lo que concluyo que solo hay tres personas (y ese numero está en la posibilidad que plantea el segundo)…ademas solo tres hablaron : dos mentirosos y uno que dice la verdad…Si hay otra persona debe ser muda o estar muerto!!!

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