Un sorteo justo…¿o no?

En nuestra vida diaria nos encontramos en multitud de ocasiones con que el ganador de un cierto premio (sea del tipo que sea) se realiza por sorteo. ¿Quién no ha participado en alguna ocasión en uno, o ha sido la persona que sorteaba? A continuación vamos a hablar de una manera de sortear fuera de lo habitual, rara cuanto menos.

Pero antes de nada vamos a comentar el tipo de sorteos en los que nos vamos a centrar. Imaginemos que estamos con un grupo de personas y queremos regalar algo mediante un sorteo a una de ellas. Una idea, muy típica, es la siguiente:

Supongamos que el grupo está formado por 20 personas. Tomamos 20 trocitos de papel, escribimos la palabra PREMIO en uno de ellos y los doblamos y mezclamos. Después cada persona coge uno de los papelitos y quien tenga el que tiene escrito PREMIO gana.

Todos de acuerdo con la justicia del sorteo, ¿verdad? Cada una de las personas que optan al premio tiene una probabilidad igual a 1 \over 20 de tener el papel que le hará ganar.

Veamos ahora otra opción:

Yo, que soy quien estoy sorteando el premio entre las 20 personas, pienso un número del 1 al 20 (y a efectos de comprobación al finalizar el sorteo lo apunto en un papel). Ordenamos ahora a las personas, por orden alfabético por ejemplo, y según ese orden cada una de ellas dice un número del 1 al 20. Quien acierte el que yo pensé al principio se lleva el premio.

Seguro que si se lo planteamos a un grupo real de personas, los últimos, según el orden elegido, dirán que es injusto, que posiblemente a ellos ni le llegue la posibilidad de elegir número, y en cierto modo no les falta razón. ¿Significa eso que tiene menor probabilidad de ganar que los primeros? Hablando en claro: ¿es justo este reparto? Pensadlo por un momento…

…¿sí? ¿no? Bien, lo mejor es calcular en este caso la probabilidad que tiene cada una de las personas del grupo de llevarse el premio.

Comencemos con la primera persona que elige número. Como hay 20 números posibles, la probabilidad de acertar el que yo pensé en un principio es 1 \over 20. Vamos bien.

Para que la segunda persona se lleve el premio debe ocurrir que la primera falle y la segunda acierte. La probabilidad de que la primera falle es 19 \over 20, mientras que en este caso la probabilidad de que la segunda persona acierte es 1 \over 19, ya que el número que dijo la primera persona está excluido (falló). La probabilidad de que esta segunda persona se lleve el premio será el producto de estos dos números, esto es:

\cfrac{19}{20} \cdot \cfrac{1}{19}= \cfrac{1}{20}

Vaya, la misma probabilidad que el primero.

Veamos la situación del tercero. Para que se lleve el premio el primero debe fallar (probabilidad 19 \over 20), el segundo también (probabilidad 18 \over 19, hay uno menos para elegir) y él mismo acertar, suceso que en este caso tendrá probabilidad 1 \over 18. De nuevo la probabilidad de que el tercero se lleve el premio es el producto de todas ellas, quedando:

\cfrac{19}{20} \cdot \cfrac{18}{19} \cdot \cfrac{1}{18}= \cfrac{1}{20}

La misma probabilidad que en los casos anteriores.

¿Y qué ocurre con el cuarto? Pues de forma análoga la probabilidad de llevarse el premio es:

\cfrac{19}{20} \cdot \cfrac{18}{19} \cdot \cfrac{17}{18} \cdot \cfrac{1}{17}= \cfrac{1}{20}

¿Y el quinto? Igual. Y así ocurre con todos los integrantes del grupo inicial: todos ellos tienen la misma probabilidad de llevarse el premio, por lo que el sorteo es justo.

En consecuencia los dos sorteos son justos, los dos serían perfectamente válidos y con los dos estaríamos eligiendo al ganador del premio de forma totalmente coherente con el sorteo. Otra cosa es explicarle a los implicados en el mismo que la segunda opción es justa, pero eso es harina de otro costal…


Nuestro admirado Tito Eliatron ya publicó un post sobre este tema: Un reparto ¿justo?.


Imagen tomada de aquí.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

18 Comentarios

  1. El problema es que los humanos somos un desastre eligiendo aleatoriamente… con lo yo voy a elegir los números con un cierto sesgo que -si suponemos que todos los participantes son de la misma cultura- será parecido al orden de elección de los demás.
    De esta forma los primeros candidatos tendrían más posibilidades al dejarle a los últimos los números que es menos probable que yo haya elegido…

    Bastaría con que yo llevase en el bolsillo un socorrido D20 (no salga de casa sin su kit de rol de emergencias) para que este sesgo desapareciese y el sorteo volviese a ser justo.

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  2. El razonamiento matemático es impecable, pero hay un fallo psicológico. Al parecer, los números que vienen a nuestra cabeza cuando nos dicen “piensa un número” no son equiprobables. Por ejemplo, el 7 tiene una frecuencia muy superior al resto, así que realmente los primeros sí tendrían una ventaja. Si en vez de pensar el número, éste se eligiese tirando un dado de 20 caras, ¡nada que objetar! 🙂

    Aquí una curiosa referencia:

    http://singularidad.wordpress.com/2007/02/19/experimento-telepatico-piensa-un-numero-al-azar-entre-1-y-20/

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  3. Lo mejor es que hay un método para sortear entre N personas sin saber de antemano cuánto vale N (por ejemplo, si se sortea algo entre la gente que se presenta en cierto lugar antes de cierta hora, como hacen algunos programas de radio).

    A la primer persona que aparece se le asigna el premio.
    Si aparece otra persona más, se sortea si se le asigna el premio, con 1/2 de probabilidad.
    Si aparece otra persona más, se sortea si se le asigna el premio, con 1/3 de probabilidad.
    Si aparece otra persona más, se sortea si se le asigna el premio, con 1/4 de probabilidad.
    Si aparece otra persona más, se sortea si se le asigna el premio, con 1/5 de probabilidad.

    Al final, cuando no aparecen más personas, se habrá realizado un sorteo equiprobable entre todas las personas que se presentaron al premio.

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  4. Aun siendo matemáticamente coherente creo que en el segundo acto también se debería incluir algo de predisposición a escoger números determinados por parte de ciertas personas aún si es de forma inconsciente, eso cambiaría bastante las cartas en la mesa.

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  5. Aparte de lo del sesgo, el problema se puede enfocar de otra manera, más sencilla.

    Dado que no se altera el resultado, podemos suponer que no se dice el ganador hasta que todos hayan elegido un número. Ahora… ¿qué probabilidad hay de que el número de cualquiera de los concursantes sea el elegido? Pues 1/20 claramente (ya digo, sin considerar lo del sesgo).

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  6. Buen apunte Sive.

    Para todos los que han comentado el tema de la predisposición por ciertos números a la hora de elegir, comentaros que implícitamente se entiende que las elecciones son aleatorias, tanto la mía como persona que sortea como la de las que optan al premio.

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  7. Es bueno el razonamiento, es factible que las personas que creen injusto esto, se deba a que consideran la probabilidad en el momento que les toca elejir p(n)=\frac{1}{20-(n-1)} donde n es la persona (n asocia la persona con los números descartados). La probabilidad hay que tomarla siempre desde el momento o condicion inicial. Con respecto al orden en que las personas elijen y la cantidad de números que le restan por elejir… Se pueden calcular. Con respecto al factor psicológico, la matematica de probabilidades es indiferente a estos factores, mide hechos concretos, que en definitiva es lo que nos interesa y es un error lógico incluir la psicología en la probabilidad de exito de un evento.

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  8. Muy curioso y un claro ejemplo de cuándo la intuición falla en contraste con la rigurosidad matemática!

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  9. En alguna ocación y para definir que parte de un proyecto de la Universidad hacia cada integrante del equipo yo propuce lo siguiente:

    Cada uno decia el día en que nació (día primero, día segundo o 31 del mes), una vez ordenados los días de nacimiento el primero hace la primera parte del trabajo, el segundo la segunda parte, etc. Cuando dos personas nacieron el día 16 del mes, por ejemplo, el criterio era el mes de nacimiento: primero quien nacio en enero y despues quien nacio en marzo, por ejemplo.

    Nunca se cuestiono el sorteo porque todos pensamos que nadie escoje el día de su nacimiento, pero siempre me intereso saber si era un sorteo justo en el sentido matematico.

    Despues, cuando leí un articulo sobre la probabilidad de que dos personas de un grupo festejen su cumpleaños en la misma fecha (día y mes) me quedó claro que el método aplica para grupos pequeños como los grupos de trabajo de las Universidades con 5 integrantes máximo.

    Pero sigo con la duda, ¿el sorteo es justo? ¿podría alguien ayudarme a plantear el problema?

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  10. En realidad creo que con el primer sistema, el de los papelitos, la gente se quejaría igual: el último no tiene posibilidad de “elegir”, se tiene que quedar con el papelito que no han querido lo demás. Tengo la sensación de que lo aleatorio es muy difícil de entender: prueba a venderle a alguien el 00000 para un sorteo de la Loteria (la semanal, la de 100.000 números).

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  11. Hluot Firthunands, en principio tu método parece impecable para una sola aplicación.
    Si consideramos el año como un conjunto continuo de instantes, la distribución de momentos de nacimiento a lo largo de él tiene una ordenación totalmente aleatoria.
    No sería lo mismo si lo aplicas varias veces a lo largo del curso y con los mismos alumnos ya que no parece equitativo que siempre sea el mismo el que realiza la primera, o la tercera o la última fase de cada proyecto.

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  12. Una forma sencilla de ver que ambos métodos son equivalentes es pensar que los papeles se sacan de a uno por vez. Sacar los papeles de a uno es lo mismo que decir los números uno después de otro.
    Igual es interesante el planteo para demostrar que la probabilidad de acertar el número es independiente del turno en el que toque escogerlo.

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  13. En realidad el segundo tipo de sorteo no parece totalmente justo. Sí tiene cierto grado de justicia -pienso-, pero no lo es del todo. Para ello propondré dos casos -a veces haciendo una comprobación nos evitamos una demostración-. Digamos que a la fiesta invitan a 50 ó 100 personas, cosa que no es imposible: ¿de veras piensas que al que le toca elegir en el turno i = 99 podrá recordar los números ya elegidos como los recuerda quien elige de 1ro, 2do o 3ro? A veces la memoria no es tan buena, por eso yo difícilmente gano en el dominó: mi memoria no es tan buena. Segundo caso: Por cosas de la vida que los vivos no siempre llegamos a comprender pero que no por eso dejan de pasar, sucede que cuando estamos en medio de un sorteo ciertas cosas en nuestra psique nos impulsan a decir ciertos números, y mientras la cantidad de números a elegir sea menor, mayor se observará dicho fenómeno -eso es lo que estilan estudios que yo ni he leido en su totalidad-; pero, para no cansar la argumentación, digamos que dos participantes piensan el mismo número… ¿Quién lo ganará? ¿el concursante i, ó el i + 1? yo creo que el i. Nuevamente las probabilidades a favor del primero…
    A veces los “favores” en los sorteos no dependen exclusivamente de la probabilidad de los eventos propios al mecanismo utilizado, sino también de la probabilidad que se desprende de las condiciones en que se efectúa dicho sorteo.

    Un saludo

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  14. Para el amigo aqui_c; bien dices en lo parecidos que son ambos mecanismos; pero… en el segundo intervienen cosas que en el primero no.

    I.- En el primero los papeles ya estan escritos y no hay riesgo de equivocarse repitiendolos. En el segundo sí hay dicho riesgo.
    II.- En el primero no hay riesgo de que dos concursantes eligan el mismo número. En el segundo, nuevamente, sí lo hay.

    El segundo método presenta dos riesgos que el primer método no presenta; dichos riesgos pueden afectar los resultados del sorteo, por lo tanto no son igualmente justos.

    Para trabajar más el nivel de análisis de criterios de justicia propongo un debate -si la comunidad lo acepta, claro-.
    Se trata de una reglamentación de los torneos de pool americano (ese juego parecido al billar pero que no es igual).
    Sucede que una vez inventado el pool y diferenciado del billar, se reglamentó jugarlo contando los puntos de acuerdo a la sumatoria del numero marcado en las bolas enhuecadas (las que cada quien ha logrado meter) y no en el número de bolas propiamente dicho; además las bolas tenían que ser metidas en orden creciente respecto al número con que son marcadas. Con el tiempo se llego a pensar que dicho sistema no era del todo justo ya que el que quien metía las primeras bolas, aun metiendo más que el otro jugador, ganaba menos puntos, ya que las de él valían menos, o sumaban menos puntos (las primeras bolas valen menos por estar marcadas con números inferiores en orden). Esto fue motivando a crear nuevas y diferentes modalidades en el juego hasta crearse una reglamentación completamente distinta en la que a cada jugador le corresponde enhuecar un número igual de bolas y, sencillamente, gana quien las enhueque primero sin enhuecar la negra.

    ¿Qué pasó? ¿Qué hay de cierto en la necesidad de cambiar la reglamentación del juego? ¿Qué implicación tiene el orden y el turno para cada jugador? ¿Tendrá mayor probabilidad de ganar quien sale primero? ¿Existe alguna relación definible entre las probabilidades estudiables en el mecanismo del juego y la destreza de cada jugador? y finalmente ¿Porque hoy en día existe valides para la mayor parte de las modalidades del juego dependiendo la diferencia, solamente de la localidad y la importancia de los torneos?

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  15. julio, evidentemente se entiende que no se repiten números, que todos los aspirantes al premio conocen en todo momento qué números han salido ya y que se elige de forma aleatoria. Re cuerda, estamos hablando de probabilidad :).

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  16. Julio, no tengo ni idea de en qué consiste el POOL, pero tengo la manera de jugarlo equitativamente, independientemente de las reglas de orden de meter las bolas o de puntuar.
    Basta con añadir a cualquier reglamento de los existentes una regla adicional: hacer que cada partida consista en realizar el juego empezando un jugador y luego volver a hacerlo empezando el otro.
    El ganador será el que consiga el mayor número de puntos sumando los de ambos juegos.
    Sin necesidad de saber si el orden de salida da ventaja o desventaja lo práctico es la solución de los campeonatos de ajedrez: número par de juegos con salida alternativa de ambos jugadores y sumar los puntos obtenidos.

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  17. En Zaragoza, hace unos años preguntaron a un profesor de universidad como hacer un sorteo entre 120 personas con un bombo de bingo de juguete que tenia solo los numeros del 0 al 9.

    La respuesta fue la siguiente. Se sortea en primer lugar la bola de las centenas, solo con las bolas 0 y 1. Luego, se sortea la bola de las decenas y luego la de las unidades (con las 10 bolas). Si el número resultante es mayor que 120 se descarta y si es menor o igual pues es un numero válido.

    El caso es que este método (que es justo) no estaba bien visto por la gente que participaba en el sorteo y que tenia un numero en 100 y 120, por que ellos pensaban que tenian menos posibilidades, ya que la mayoria de las veces que salia un 1 en las centenas, acababa siendo un número que se descartaba por ser mayor de 120. Y se armo un revuelo que para que.

    La moraleja es que los sorteos para el publico no solo tienen que ser justos, sino que ademas tienen que parecerlo…

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