¿Sabía que…

un toro sí se puede peinar completamente?

Centro el tema: el lunes os dejé un artículo sobre el teorema de la bola peluda en el que comentábamos que una esfera peluda no puede peinarse completamente ya que todo campo de vectores tangente que podemos definir de la esfera \mathbb{S}^2 en sí misma tiene al menos un cero (que es el que correspondería a un remolino, una coronilla, un pelo tieso o algo así). Podéis verlo en la siguiente imagen:

Bola peluda

Bueno, pues la cuestión es que un toro (una superficie como la de una rosquilla, para quien no lo sepa) sí puede peinarse completamente. Es decir, sobre un toro sí puede definirse un campo de vectores tangente que no posea ningún cero. En esta imagen puede verse un ejemplo:

Toro peludo

Es decir, si nuestra cabeza tuviera forma de rosquilla podríamos peinarla completamente. Uhmm, ¿a qué me recuerda esto? ¡¡Ah!! Sí, ya lo sé:

Homer con cabeza de rosquilla

Lástima que con sus tres pelos no pueda presumir de peinado perfecto.

Fuentes:

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

9 Comentarios

  1. Me queda la duda si la posibilidad de peinar al toro es un hecho equivalente a la observación de que existen aplicaciones continuas del toro en el toro que no dejan puntos fijos…

    Esto es, ¿es el cumplimiento del teorema del punto fijo una condición necesaria y suficiente para la existencia de ceros en un campo vectorial dado?

    😉

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  2. JHS: No sé nada sobre el resultado que menciona, lo que sí tienes (al menos para variedades completas) es una especie de recíproco: si existen campos no nulos entonces tienes aplicaciones sin puntos fijos. La idea es tomar el flujo geodésico dado por el campo para un valor pequeño. Esto te da un difeomorfismo de la variedad en sí misma sin puntos fijos. Respecto al que tú preguntas, creo que sería equivalente a demostrar que todo campo vectorial se obtiene como generador infinitesimal de una función. No creo que esto sea cierto salvo en casos muy concretos (grupos de Lie y poco más) pero no se me ocurre ningún contraejemplo ahora mismo.

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  3. tengo cero conocimientos de topología (aun estoy en primero 🙂 ) pero si mi intuición no me falla, sería también imposible peinar un “doble toro” (douts con dos agujeros, taza con dos asas, o como quiera que se llame), ¿no?

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  4. JHS, acabo de caer en la cuenta que no se tiene esa relación que tú dices, en la esfera tienes una aplicación (la antípoda que manda cada punto a su diametralmente opuesto) que es ovbiamente diferenciable y no tiene ningún punto fijo.

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  5. Con respecto a lo que comentan Dani y Gerard sobre peinar toros con dos (o más) agujeros, no es posible en particular porque la característica de Euler de toros con n agujeros es 2(1-n), y la existencia de campos de vectores no nulos requiere que la característica de Euler sea 0. Lamentablemente no tengo una referencia concreta para ver este resultado.

    Referente a lo que propone J.H.S., Vengoroso ya ha dado un ejemplo sencillo de variedad no “peinable” (\mathbb{S}^2) y de aplicación continua en ella (la antipodal) sin puntos fijos. Para ver si estas propiedades son totalmente independientes, quedaría ver la otra implicación y dar (si es que es posible) un ejemplo de variedad que admita un campo de vectores tangentes no nulos y en la que toda aplicación continua tenga puntos fijos.

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  6. Tengo la explicación sobre la relación del numero Pi, y la Medusa.

    Si lo desean, se los comento. Saludos.

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  7. Aunque este asunto me queda grande, el resultado que comentaba sobre la relación entre la característica de Euler y la existencia de campos de vectores tangentes no nulos es un teorema debido a Poincaré y Hopf. También se comenta en la página 730 de las obras de Atiyah. Me estoy arrepintiendo de no haber elegido Topología Diferencial en la carrera 🙂

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