Una creencia no es una demostración

La conjetura de Goldbach, propuesta por Christian Goldbach a Leonhard Euler en 1742 dice lo siguiente:

Todo número par mayor que 2 puede escribirse como suma de dos números primos (se puede emplear dos veces el mismo número primo)

Por ejemplo:

  • 4 = 2 + 2
  • 6 = 3 + 3
  • 8 = 3 + 5
  • 10 = 3 + 7
  • 12 = 5 + 7

Todavía no se tiene una prueba completa de este hecho (o un contraejemplo que demuestre su falsedad), pero sí es cierto que sobre todo en los últimos años se ha avanzado bastante en el tema en el sentido de que se han encontrado equivalencias de esta conjetura con otros problemas sin resolver, por ejemplo con la hipótesis de Riemann. Además parece ser que la conjetura ha sido verificada hasta para todos los números pares hasta 1014.

Teniendo en cuenta estos datos cualquiera podría pensar que la conjetura es cierta. Vamos, que si se ha comprobado hasta 1014 no va a ser falsa para algún número superior. De hecho podemos decir que la comunidad matemática esta casi segura de que la conjetura es cierta…pero con esto no tenemos suficiente. Necesitamos una prueba rigurosa del hecho. Que algo se cumpla en muchos casos no significa que se cumpla siempre. Y para muestra un botón:

Diremos que un número es de tipo par si en su factorización en números primos aparecen un número par de primos. Por ejemplo, 6 = 2·3 es un número de tipo par. Y diremos que un número de de tipo impar si el número de primos de su factorización es impar. Por ejemplo, 18 = 2·3·3 es de tipo impar (se considera que 1 es de tipo par).

Sea n cualquier número natural. Consideremos los siguientes números:

  • P(n) = número de enteros positivos menores o iguales que n que son de tipo par
  • I(n) = número de enteros positivos menores o iguales que n que son de tipo impar

Por ejemplo consideremos n = 7. En este caso I(7) = 4 (el 2, el 3, el 5 y el propio 7) y P(7) = 3 (el 1, el 4 y el 6). Entonces I(7) >P(7).

Para n = 6: I(6) = 3 y P(6) = 3. Por tanto I(6) = P(6).

En 1919 George Polya propuso el siguiente resultado, conocido desde entonces como conjetura de Polya:

Para todo n > 2 se tiene que I(n) es mayor o igual que P(n)

Nadie pudo dar una demostración de la veracidad o falsedad del enunciado, pero en los años posteriores se comprobó que era cierto para todo n hasta 1.000.000, razón por la cual se pensaba que la conjetura era cierta…Craso error.

En 1962, Lehman encontró un contraejemplo: para n = 906180359 se tiene que I(n) = P(n) – 1, y por tanto:

I(906180359) < P(906180359)

El contraejemplo más pequeño que se conoce es el caso n = 906150257, encontrado por Tanaka en 1980.

Por tanto la conjetura de Polya es falsa.

¿Que nos enseña esto?. Pues muy sencillo: por desgracia en Matemáticas no podemos fiarnos de la intuición ni de lo que ocurre para un número finito de casos, por muy grande que sea ese número. Hasta que un resultado no está comprobado en el caso general no tenemos completa seguridad de que sea cierto.

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Sin comentarios

  1. Papá Oso | 8 de septiembre de 2006 | 09:22

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    No sabía que la Conjetura de Goldbach era equivalente a la Hipótesis de Riemann…

    Ahora entiendo al pobre tío Petros (el de la web no, el del libro).

    Un chiste relacionado:

    Un matemático está dando una conferencia sobre uno de sus teoremas y de repente se oye entre el público:
    -Ese teorema es falso, tengo un contraejemplo!
    A lo que el matemático contesta:
    -Da igual, tengo dos demostraciones!

    xD

  2. mimetist | 8 de septiembre de 2006 | 14:03

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    jajaja, que bueno el chiste xD

    La Conjetura de Goldbach es uno de los “problemas abiertos” que más me gusta tiene ese gustillo de simplicidad en el enunciado (como el del Teorema de Fermat) pero basta poner los pies dentro para darse cuenta de que no hay “por dónde atacar”.

    Aunque supongo que con más conocimientos se podrá avanzar de algún modo sacando conclusiones “laterales” que, al fin y al cabo, son igual de interesantes.

  3. ^DiAmOnD^ | 8 de septiembre de 2006 | 14:41

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    Eso es lo bueno de estos problemas: la simplicidad del enunciado es inversamente proporcional a la dificultad que entraña su demostración. Y otra cosa interesante de ellos es que acaban englobando en su prueba a varias ramas de las matemáticas. El último teorema de Fermat es un muy buen ejemplo de ello

  4. omalaled | 8 de septiembre de 2006 | 21:27

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    Vuestros artículos son normalmente muy buenos, pero el de hoy ha sido una pasada.

    Salud!

  5. ^DiAmOnD^ | 8 de septiembre de 2006 | 22:10

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    Muchísimas gracias omalaled, intentamos que sea así y es realmente gratificante el apoyo y el interés que estamos teniendo por vuestra parte.

    Y, por favor, no dejes tu blog, no nos prives de tus historias de la ciencia.

    Saludos :)

  6. Michoacano | 8 de septiembre de 2006 | 23:57

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    De ves en cuando deberian de poner acertijos,haber quien sale mejor xD

  7. meneame.net | 11 de septiembre de 2006 | 15:18

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    Una creencia no es una demostración

    Por desgracia en Matemáticas no podemos fiarnos de la intuición ni de lo que ocurre para un número finito de casos, por muy grande que sea ese número. Hasta que un resultado no está comprobado en el caso general no tenemos completa seguridad de qu…

  8. Caronte | 29 de noviembre de 2006 | 17:09

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    No puede ser, hace muy poco, “jugando con numeros primos”, llegue a esta misma conclucion (y a otras mas sin demostracion clara por supuesto), y resulta que ahora ese tal Goldbach me ha ganado y tampoco tiene demostracion clara… jaja
    No deja de ser interesante recalcar que la intuicion no es un metodo fiable de demostracion, pero creanme que me decepciona no haber nacido un par de siglos antes xD

  9. ^DiAmOnD^ | 29 de noviembre de 2006 | 23:56

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    Caronte te aseguro que estoy realmente interesado en qué juego con números primos te llevó a esa conclusión. Nos lo podías contar.

  10. Pero... | 2 de diciembre de 2006 | 10:34

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    Pero a ver… esto es una barbaridad, lo de la conjetura de Polya, fijaos en esto.

    Si n es par P(n)=n/2 y I(n)=n/2, entonces aquí se cumple.

    Si n es impar P(n)=(n-1)/2 y I(n)=(n+1)/2

    A todas luces (n+1)/2 > (n-1)/2 !!! sobretodo teniendo en cuenta que n es natural (entero mayor que 1)

    La demostración es supersencilla… no se como os podéis creer ese ejemplo sin ni siquiera cuestionarlo… en primer lugar esa conjetura es trivial, y en segundo lugar, no es una conjetura.

  11. Bueno, pequeño inciso | 2 de diciembre de 2006 | 10:41

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    A ver, he leído sobre esa conjetura, y no es bien bien como la habéis descrito:

    Aquí numero “par” se define como numero con un numero par de factores, y numero impar se define como un numero con un numero “impar” de factores. La verdad es que se debería aclarar eso, en amtemáticas no nos podemos permitir usar una sola palabra para denominar cosas distintas, pues se puede crear confusion…

    En todo caso, ahora si que tiene sentido que fuera una conjetura, y que pueda no ser cierta.

  12. ^DiAmOnD^ | 2 de diciembre de 2006 | 14:47

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    Y así es como aparece definido en el artículo:

    …Diremos que un número es de tipo par si en su factorización en números primos aparecen un número par de primos. Por ejemplo, 6 = 2·3 es un número de tipo par. Y diremos que un número de de tipo impar si el número de primos de su factorización es impar. Por ejemplo, 18 = 2·3·3 es de tipo impar (se considera que 1 es de tipo par)…

  13. Trackback | 2 dic, 2006

    Gaussianos » La conjetura de Collatz

  14. Trackback | 8 feb, 2007

    Gaussianos » La conjetura de Catalan

  15. Juan Vilches | 2 de marzo de 2007 | 19:51

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    Qué gran conjetura, que por casualidad la conocí en la universidad y que me hubiera gustado conocer antes y lo que lamento es que el gran EULER esté muerto.

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