Una curiosa propiedad del 123

Me gustan esos números que “atraen” a otros números después de realizarles a estos últimos ciertas operaciones. Esos números que, casi como por arte de magia, salen siempre como resultado de dichos cálculos. Números como el 6174 (la constante de Kaprekar para números de cuatro cifras) o el 1089. Me encantan estos números, a los que cariñosamente llamo agujeros negros por tragarse a esas cantidades de números y no dejarlos escapar.

Hoy os voy a mostrar una curiosa propiedad del número 123 que lo convierte en uno de esos agujeros negros numéricos y que, por qué no, podría servir para introducir a alumnos de secundaria en el maravilloso (pero complicado) mundo de las demostraciones matemáticas.

La propiedad del 123 a la que me refiero es la siguiente:

Tomamos un número entero positivo cualquiera de tres o más cifras y contamos cuántas de ellas son pares y cuantas impares, y con estos datos construimos un número de la siguiente forma: colocamos primero la cantidad de cifras pares que tenía el inicial, después la cantidad de cifras impares y después la cantidad total de cifras que tenía. Con el número obtenido hacemos lo mismo, y así sucesivamente. Sea cual sea el número inicial siempre terminaremos en el 123, y no saldremos de él.

Vamos a ver un ejemplo. Tomamos, por decir alguno, el 863112. Tiene 3 cifras pares (el 8, el 6 y el 2) y 3 impares (el 3, el 1 y el 1). Como tiene 6 cifras, con él obtendríamos el número 336. Hacemos lo mismo con éste: 1 dígito par (6) y 2 impares (3 y 3). Como tiene 3 cifras, obtenemos con él el 123. Y ahora el 123 tiene una par (el 2), dos impares (el 1 y el 3) y tres dígitos, obteniendo así el número 123 de nuevo. Por tanto el 123 se ha tragado al 863112 cual agujero negro.

Curiosa a la par que enigmática propiedad del 123, ¿verdad? No sé si os ha sorprendido, o si os parece muy compleja o más bien trivial. La cuestión es que es bastante sencillo demostrarla, y pienso, como ya he dicho, que la prueba de esta propiedad podría servir para introducir en el magnífico a la vez que complejo mundo de las demostraciones a los alumnos que todavía no están muy familiarizados con ellas. Vamos a verla:

Si el número tiene 3 cifras puede pasar varias cosas:

– Que las tres sean pares: entonces tendremos 0 impares, con lo que obtendríamos el 303. Éste tiene una par y dos impares, con lo que, por tener tres cifras, llegamos al 123.

– Que las tres sean impares: tendremos ahora 0 pares, con lo que tendríamos el número 033. Volvemos a tener una par (recordad que el cero es un número par) y dos impares, llegando igual que antes al 123.

– Que haya dos pares y una impar: obtendríamos de él el 213. Dicho número tiene una par y dos impares, con lo que llegaríamos de nuevo al 123.

– Que haya dos impares y una par: en este caso nos sale directamente el 123.

Si el número tiene 4 cifras o más, llegaremos siempre a un número de 3 cifras después de aplicar este proceso una cierta cantidad de veces. Cuando se llegue a ese punto se utiliza lo que hemos comentado antes y volvemos a llegar, siempre, al 123.

En consecuencia, esta propiedad del 123 es cierta sea cual sea el número entero positivo de tres o más cifras con el que comencemos.

Por poner un ejemplo con un número grande, tomemos uno de 63 cifras:

399840028756614602276545678984903947256874545784954397511264688

Este número tiene 34 cifras pares y 29 impares, por lo que mediante el método descrito obtendríamos de e´l el número 342963. Éste tiene 3 pares y 3 impares, obteniendo entonces el 336, que tiene una par y dos impares y, por tanto, nos proporciona ya el 123.

No me podréis negar que la demostración es bien fácil, ¿verdad? La magia de las matemáticas apta para todos los públicos.


Visto en Another black hole number, donde parece que también les gusta eso de agujero negro.


Terceraa aportación a la edición 4.1 del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión acoge @eliatron en su blog Tito Eliatron Dixit.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

45 Comentarios

  1. “Que las tres sean impares: tendremos ahora 0 pares, con lo que tendríamos el número 033. Volvemos a tener una par (recordad que el cero es un número par) y dos impares, llegando igual que antes al 123.”

    De acuerdo en que el cero es un número par, pero mi pregunta es: ¿no es hacer un poco de trampa el hecho de contar ese cero del 033 -por quedar a la izquierda?

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  2. Estoy de acuerdo con David, deberíamos considerar “033” como un número de dos cifras (por otro lado, es lo que es). Lo que ocurre es que también funciona en este caso: de 33 pasamos a 22, de ahí a 202, a 303 y a 123.

    De hecho creo que la propiedad funciona también con los números de menos de tres cifras.

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  3. Uhmmm…podría funcionar también para números menores de 2 cifras. De todas formas creo que no hay problema en considerar el cero a la izquierda, ¿no? 🙂

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  4. Muy lindo. Me pregunto si funciona también en cualquier otra base de numeración… Obviamente con otras constantes.

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  5. Por las pruebas que ha estado haciendo mi hija esta tarde, funciona perfectamente con números de dos y una cifra.

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  6. Al hilo de la paridad del cero… La confusión creo que puede ir por el tema de los numeros negativos y positivos, siempre se nos dice que el cero no es ni positivo ni negativo, sino que es neutro.

    Pues se puede llegar a pensar que el cero no es ni par ni impar, es “neutro”

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  7. Problema ninguno, pero digamos que no forma parte del número, ¿no?
    Quiero decir: 33 es 33, y no 033. De otra manera, también podríamos considerar 0033 ó 000033.
    Ojo, que todo esto lo digo habiendo estudiado periodismo y sin haber dado matemáticas desde 2º de Bachillerato. Que igual soy yo el que está confundido :S

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  8. Marcos, sería interesante probar en otras bases, cierto.

    Tito Eliatron, vaya, no lo recordaba. Con tantas cosas buenas que has publicado alguna vez tendré que repetir :).

    FerFrias, pensándolo yo después he llegado a la conclusión de que debe cumplirse también para número de dos y una cifra, pero creo que tu hija llegó antes que yo :).

    superplinio, sí, es posible. Pero el caso es que el signo no tiene que ver nada con la paridad.

    David, sí, sí, tienes razón, tomar el cero a la izquierda es más bien un “apaño”. De todas formas tomando un único cero es suficiente, aunque como acabo de decir parece que funciona con números de dos y una cifra, por lo que ya no haría falta.

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  9. Un número tendrá
    p cifras pares
    i cifras impares
    p+i cifras totales.
    A su vez p,i,p+i pueden tener 1 o más cifras.
    Además p,i,p+i pueden ser pares o impares.
    Si logramos demostrar que sin importar el número de partida llegaremos siempre a tener un número de tres cifras, entonces éste número será
    p i p+i
    Si p es par e i par entonces p+i es par y tenemos el 303 que se reduce a 123.
    Si p es par e i impar entonces p+i es impar y tenemos el 123.
    Si p es impar e i par entonces p+i es impar y tenemos el 123.
    Si p e i son impares entonces p+i es par y tenemos el 123.

    Además cualquier número que nos lleve al 303 antes del 123 es un número con una cantidad par de cifras y con tantas cifras par como impares.

    El tema es demostrar que a partir de cualquier número de cifras por el proceso de reducir a un número en la cantidad de sus cifras pares, impares y total de cifra se llegará a un número de 3 cifras.

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  10. Además de todo lo ya dicho, ¿pues también valdría si cambiamos el orden de acomodar el número de cifras pares, impares y totales, no?, es decir, existen otros 5 numeros además del 123 con esa propiedad.

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  11. Funciona para una cifra:

    Si el número es par se transforma en 101, después en 123
    Si es impar se transforma en 11, después en 22, en 202, en 303 y finalmente en 123

    Y para dos cifras :

    Si ambas son pares se transforma en 202, 303 y 123
    Si ambas son impares se transforma en 22, 202, 303 y 123
    Si hay par e impar se transforma en 112 y en 123.

    Olvidé decir en mi comentario anterior que me ha gustado mucho la entrada y la propiedad

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  12. Una cosa probando un número de 4 cifras y todas pares a mi no me da!
    Por ejemplo el 2222, llega al 404 y de ahi no se mueve, verdad?

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  13. Realamente una propiedad sumamente interesante, y bueno creo que la hipotesis de que debe ser para todo numero de mayor o igual a tres cifras no es necesaria, tomemos como ejemplo el 7 siguiendo el procedimiento obtenemos 7->011-> 123 que es lo que buscabamos, ahora tomando un numero de una cifra que sea par tenemos 8->101->123 con esto se elimina la hipotesis referente a la cantidad de cifras del numero en cuestion, y asi se hace aun mas elegante el resultado, lo curioso es que hasta con el cero funciona 0->101->123

    Saludos

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  14. He hecho pruebas con diferentes bases y, aunque se llega a un número, este no es siempre el mismo.
    Por ejemplo: en base 2 puede terminar en 111101001 o en 1011011010 con 9 o 10 dígitos.
    En base 3 puede terminar en varios números de 4 o 5 dígitos.
    A partir de ahí siempre hay más de un número final pero entre ellos está siempre el 123.

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  15. Claro que se mueve y es asi 2222->404->213->123 y boala lo obtuviste

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  16. El tema es demostrar que a partir de cualquier número de cifras por el proceso de reducir a un número en la cantidad de sus cifras pares, impares y total de cifra se llegará a un número de 3 cifras.

    Esto es fácil porque, en cada iteración, cada n nos lleva a un número con a lo más 3\log_{10} n cifras, así que finalmente llegamos a uno menor que 1000 (tres o menos dígitos).

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  17. Esto me recuerda mucho a un problema de continuar el término siguiente de la serie:
    1
    11
    21
    1211
    111221
    312211
    ¿Cuáles serán los siguientes?

    No conozco a nadie que lo haya resuelto, pero claro aquí publicado y relacionado con este post seguro que hay más de uno que lo pilla rápido.

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  18. De memoria, ha salido en este blog. Desde luego, la sucesión tiene dedicado algún que otro interesante estudio.

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  19. Otra cosa, ¿alguien ha intentado usando un método análogo al descrito, pero clasificando los dígitos del número inicial por ejemplo en los que son congruentes con cero módulo 3, luego los que son congruentes con 2, con 1 y al final escribiendo el total de dígitos del número inicial? ¿también se llega a algún número en particular o ciclo? y pues si lo anterior sirve igual para cualquier clasificación en clases de congruncia módulo algun entero…

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  20. Que pasaría ahora si consideramos por ejemplo formar un número cuya primera cifra sea la cantidad de cifras múltiplos de 3, luego la cantidad de cifras pares y finalmente la cantidad total de cifras.

    Por ejemplo en el número 371 tendríamos 103–>113–>103 (103 absorve)
    En el número 555—>003—>123 (oh, otra vez el 123).
    En el número 222—>033—->213—>113
    En el número 996—>313—->203—>123 (oh, nuevamente 123).

    Este no sería un sistema de agujeros negros unario, sino n-ario, y vaya a saber que valor podría tomar n.

    Se podría jugar también con cifras múltiplos de 2, de 3, impares y cantidad total de cifras, formando así un número de 4 cifras.
    Por ejemplo en el 4466 tendríamos 3204–>3104–>2114–>2024–>4004–>4004
    En el número 5576–>0134–>2124–>3014–>2124 (círculo repetitivo)
    En el número 4436–>3214–>2124–>3014–>2124 (idem).
    En el número 4009–>3114–>1134–>1134 (absorvente, porque son permutaciones)

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  21. Cartesiano Caótico y Gaussianos

    Cuidado con las series finitas (o infinitas) en las que no hay algoritmo de creación explícito.

    Cualquier nº vale, p.e. 37, dado que la serie es la original mas el 37 (por que lo digo yo y tengo la misma razón que el proponente).

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  22. Otro agujero negro: si tomamos de un número la cantidad de dígitos menores que 5, la cantidad de dígitos mayores que 4 y la cantidad total de dígitos siempre acabamos y repetimos siempre acabamos en 303.

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  23. Ejemplo.

    253698789–>279–>123–>303

    Otro ejemplo
    123456789–>459–>123–>303

    Otro ejemplo
    56789—>055–>123—>303

    Otro ejemplo
    21233—>505—>123–>303.

    Otro ejemplo
    181.258.911.133.322.255.556.666—>121224—>606–>123–>303.

    Resulta interesante que en todos estos ejemplos siempre tengamos que pasar por el agujero negro de la cantidad de cifras pares, impares y total (el 123) antes de llegar al 303.

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  24. Romeo, no creo que te hayan salido casualmente. En otros casos no se pasa por el 123. Además el que tu calculas como 56789 yo lo hago así:
    56789–>55–>22–>202–>303 y tampoco pasa por 123.
    No me parece legítimo en todos los ejercicios de esta clase, incluido el del post, considerar el 0 a la izquierda pues eso significaría que puedo poner más ceros si quiero.

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  25. Yo pongo el 0 delante para indicar la cantidad de números menores que 5 que deberían ir allí.
    Y creo que es válida la notación y no se puede poner más 0, ya que por ejemplo en 0055 ¿qué indica el primer 0? ¿la cantidad de qué?.

    —-
    Algunos números que no pasan por el 123 serían por ejemplo para todos los números cuyas cifras sean menores que 5. En efecto si un número tiene N cifras menores que 4 y todas ellas en estas condiciones entonces el número resultante será
    N0N esto nos lleva a 303

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  26. A mi lo que me parece curioso es que se elija el 123. ¿Por qué ese y no 321? Como bien han dicho no depende del número en si, sino de la disposición que elijas para las cifras. ¿Por qué no poner primero el número de dígitos, luego los impares y luego los pares? Por lo qué luego me viene a la cabeza otra pregunta. ¿Esto es un problema matemático? Depende de cómo se coloquen los números, no depende de los números en si…

    Y así llevo 15 minutos 😉

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  27. Aclararé mi objeción: En el contexto de estos procesos de obtener un número a partir del anterior para volver a repetir el proceso estamos tratando con NÚMEROS. El 055 NO es un número en el sentido normal de la palabra porque el cero a la izquierda no tiene valor ninguno. Así del 56789 se obtiene, en mi opinión 55 y no 055. Cuando digo que se podrían añadir ceros a la la izquierda me refiero a que para procesar como número inicial el 567879 podría escoger hacerlo con 0000000000056789–>10515–>325–>213–>303 y tampoco pasaría por 123 pero no me parece adecuado generalizar el proceso de este modo.

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  28. Tienes razón, depende de la disposición que hagamos al respecto. Para la dada en este artículo queda el 123 como agujero negro.
    Para otra forma de disponer será 321 y también podríamos tener la 213.

    En el caso de las características puestas por JJGJJG habría dos coincidentes y podríamos tener las variantes 33 y 330, según como queremos disponer los números.

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  29. El 213 es agujero negro si se toman las siguientes condiciones
    1) Se escribe la cantidad de cifras que no son cuadrados perfectos.
    2) Se escribe la cantidad de cifras que son cuadrados perfectos (0,1,4,9).
    3) Se escribe la cantidad total de cifras del número.

    Algunos ejemplos.
    1.234.567.890–>6410–>134–>123–>213
    7.891–>313–>213
    5–>101–>213
    77–>203–>213

    Interesante resulta el intercambio entre la 1°) y 2°) condición, en la que parece ser que tendríamos un sistema binario de agujeros negros, donde algunos números serían absorvidos por el 123 y otros por el 22. Esto si no consideramos poner 0’s delante de los números de dos o una cifra. En el caso que aceptaramos ponerlos entonces tendríamos como agujero negro únicamente al 123.

    Algunos ejemplos.

    7891–>224–>123
    6785–>44–>202–>123
    66785–>55–>22
    Pero si pudiéramos hacer
    022–>123
    0022–>224–>123

    0044–>

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  30. Hola, no soy matemático pero me interesan los números.
    Quería saber si hay algún post sobre el número nueve (9), en particular sobre el hecho de que partiendo de los grados de una circunferencia, sumando sus números, se llega a nueve, y que esta propiedad se repite con todas las “medias”, “cuartas”,etc partes de la circunferencia. O sea 360, 3+6+0=9. 180, 1+8+0=9. 45; 22,5; 11,25; etc, todas dan igual resultado, quisiera saber porqué, a lo mejor la respuesta es más simple de lo que pienso. Gracias!!!!

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  31. Mariano
    Por lo visto solo vale para 360/2^n.

    Afirmación 1)
    La suma de las cifras de cualquier múltiplo de 9, siempre da 9.
    Por ejemplo 2079; 2 + 0 + 7 + 9= 18; 1 + 8 = 9

    Observación:
    Si tomo 360/2^n \times 10^m siendo m la cantidad de decimales del cociente, entonces se forma un número múltiplo de 9. Y esto nos remite a la afirmación 1).
    Entonces la cuestión está en demostrar que 360/2^n \times 10^m es un múltiplo de 9 para todo n, m.

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  32. Hola

    Éste es un ejercicio de módulo 9

    360 suma=9
    180 suma=9
    90 suma=9
    45 suma=9
    22.5
    11.25
    5.625 suma=18-9=9
    2.81250 suma=18-9=9
    1.40625 suma=18-9=9
    3515625 suma=27-18=9
    etc
    Usted siempre va a sumar y al resultado le va a restar 9 o 18 o 27 y siempre le dará 9
    ésta propiedad se llama módulo 9

    A su orden

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  33. Romeo y Bolivar Lojan Ferro: Muchas gracias por responder. Ahora, esto de que todo multiplo de 9 se compone de cifras que, sumadas individualmente dan como resultado 9 es algo que sólo se produce con el nueve? Porque lo pienso con otros números y veo que no hay constante. De eso se trata la propiedad que Bolivar menciona como Modulo 9?
    De nuevo gracias!!

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  34. MARIANO
    y con el tres

    Un número entero cualquiera se puede escribir como a*10^n+b*10^(n-1)+…+m*10+n
    Si busco el resto de dividir por 3 ó por 9, todos los elementos 10^î dejan resto 1, por lo que ese número módulo 3 ó 9 es de la misma clase que a+b+…+m+n.

    Sobre este número volvemos a aplicar lo anterior el número de veces que sea necesario hasta llegar a un resultado de 0 a 8

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  35. Hola Mariano

    Lo que arriba comenté funciona solo para el número 9, basada en la propiedad módulo 9
    Mientras que la funcion módulo xiste para todo número.

    La función módulo 9 el el residuo de dividir entre 9
    También hay función módulo para cualquie número

    mod (14;9)?= 5
    mod(7;5)?=2

    Saludos

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  36. Estaba leyendo el post, y el 123 no es el único número que cumple esta condición, el 132, el 213, el 231, el 312, el 321 cumplen el mismo tipos de condición.
    Me explico, todo depende de que condición le quieras dar a la posición del numero, por ejemplo el 312, si decimos que el primer dígito es la suma de los pares e impares, que el segundo dígito es la suma de los pares y el tercer dígito es la suma de los impares.
    Esto es por que lo que hacemos es evaluar si los números son pares e impares independientemente de su lugar.
    Lo curioso es que si cogemos en vez de los pares e impares, escogemos los multiplos de tres, los del tipo 3K+1, los del tipo 3K+2 y la suma de todos ellos, no hay ningún número que cumpla esta condición.

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  37. Si primero se cuentan la cantidad de ceros y unos del número, luego la cantidad de cifras mayores que 1 y finalmente se coloca el número de cifras, creo que también se llega a 123.

    Conjeturo que cualquier variante en el mismo sentido llegará siempre a 123.

    Saludos.

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  38. Veamos qué pasa con cualquier regla posible.
    Dividimos los diez dígitos en dos grupos con un determinado criterio, el que sea, a los que llamamos (a) y (b). Establecemos, además, que el par 0 a la izquierda se cuenta como un dígito más.
    De cualquier número obtenemos otro con los siguientes dígitos: cantidad de (a), cantidad de (b) y cantidad de dígitos.
    Siempre llegaremos, tarde o temprano, a un número de tres dígitos.
    El siguiente tendrá como última cifra el 3 y las dos primeras sumarán también 3.
    Los cuatro valores posibles serán: 033, 303, 123 y 213.
    Podemos encontrar reglas para conseguir que cada uno de esos cuatro se convierta en agujero negro.
    Si no incluimos la condición de los ceros a la izquierda podemos diseñar fácilmente reglas para que el agujero negro sea el 1.

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  39. Veamos qué pasa con cualquier regla posible.
    Dividimos los diez dígitos en dos grupos con un determinado criterio, el que sea, a los que llamamos (a) y (b). Establecemos, además, que el par 0 a la izquierda se cuenta como un dígito más.
    De cualquier número obtenemos otro con los siguientes dígitos: cantidad de (a), cantidad de (b) y cantidad de dígitos.
    Siempre llegaremos, tarde o temprano, a un número de tres dígitos.
    El siguiente tendrá como última cifra el 3 y las dos primeras sumarán también 3.
    Los cuatro valores posibles serán: 033, 303, 123 y 213.
    Podemos encontrar reglas para conseguir que cada uno de esos cuatro se convierta en agujero negro.
    Si no incluimos la condición de los ceros a la izquierda podemos diseñar fácilmente reglas para que el agujero negro sea el 1.

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