Una curiosidad sobre la representación binaria de los números perfectos

En ocasiones nos encontramos con que algunas características de ciertos tipos de números son realmente sorprendentes, casi místicas en algunos casos. Pero no podemos dejar que ese aparente misticismo nos nuble la vista, ya que eso que parece tan sorprendente quizás sea algo relativamente evidente que no acertamos a ver, puede que por estar poseídos por esa sorpresa.

Los números perfectos son uno de esos tipos de números que poseen características sorprendentes. Para empezar, su propia definición los eleva a una categoría acorde con su propia denominación:

Un número entero positivo N es un número perfecto si la suma de todos sus divisores (excluyéndolo a él mismo) es igual al propio N.

Ejemplos de números perfectos son los siguientes:

\begin{matrix}6=1+2+3 \\ 28=1+2+4+7+14 \\ 496=1+2+4+8+16+31+62+124+248 \end{matrix}

que son los tres más pequeños.

Hay dos cuestiones interesantes sobre los números perfectos que actualmente siguen sin respuesta. Son las siguientes:

  • ¿Existen infinitos números perfectos?
  • ¿Existen números perfectos impares?

Sobre la segunda pregunta, solamente se conocen propiedades que deberían cumplir si en realidad existieran relacionadas con el número de factores que deberían tener o sobre la cantidad de dígitos de dichos factores (aquí se demostró un resultado relacionado con ellos).

Y sobre la primera, sabemos algo pero no demasiado. No sabemos si hay infinitos números perfectos, pero sí sabemos cómo son exactamente los números perfectos pares. Se sabe (gracias, a partes iguales, a Euclides y a Euler) que hay una relación biunívoca entre los números perfectos pares y los primos de Mersenne (que recordemos que son primos de la forma 2^p-1, con p un número primo). Es decir, sabemos que cada número perfecto par corresponde con un primo de Mersenne, y viceversa de la siguiente forma:

Si 2^p-1 es un número primo, entonces 2^{p-1} \cdot (2^p-1) es un número perfecto.

Por tanto a día de hoy se conocen 48 números perfectos (uno por cada primo de Mersenne que conocemos). Por ejemplo, los tres anteriores corresponden a los siguientes primos de Mersenne:

  • Para p=2 obtenemos el primo de Mersenne 2^2-1=3, y el número perfecto 2^{2-1} \cdot (2^2-1)=6.
  • Para p=3 obtenemos el primo de Mersenne 2^3-1=7, y el número perfecto 2^{3-1} \cdot (2^3-1)=28.
  • Para p=5 obtenemos el primo de Mersenne 2^5-1=31, y el número perfecto 2^{5-1} \cdot (2^5-1)=496.

Como podemos ver, los números perfectos tienen una definición y unas propiedades ciertamente curiosas y, hasta cierto punto, sorprendentes (esta relación con los primos de Mersenne es, para mí, cautivadora por lo inesperado de la misma), pero no todo lo que está relacionado con ellos debe ser necesariamente “inexplicable”. Veamos un ejemplo.

Hace unos días se publicaba en Futility Closet el post Brothers in Binary, en el que aparecía esta tabla con la representación binaria de los primeros ocho números perfectos:

En ella se puede ver que la representación binaria de dichos números perfectos es muy especial, ya que en todos los casos aparecen una cierta cantidad de unos seguidos de otra cierta cantidad de ceros. Además, en todos los casos la cantidad de unos es un número primo y la cantidad de ceros es un número par. ¿Esto es siempre así? Y, en ese caso, ¿tiene algún tipo de explicación?

Pues sí, es así siempre que el número perfecto sea par. Y sí, tiene explicación. Y, como ya habréis adivinado, tiene que ver con la correspondencia de los números perfectos pares con los primos de Mersenne.

Tomemos un número perfecto par cualquiera, K. Por la correspondencia con los primos de Mersenne, debe existir un número primo p tal que 2^p-1 es un número primo y además K=2^{p-1} \cdot (2^p-1). Por otro lado, se puede demostrar fácilmente por inducción que si n es un número entero positivo, entonces

2^n-1=1+2+ \ldots +2^{n-1}

por lo que tenemos que

K=2^{p-1} \cdot (1+2+\ldots +2^{p-1})

Realizando la multiplicación obtenemos la expresión de K como suma de potencias de 2:

K=2^{p-1}+2^p+ \ldots 2^{2p-2}

¿Qué nos dice esta representación? Pues un par de cosas:

  • La primera es que las potencias de 2 menores que 2^{p-1} no aparecen en ella, por lo que en la representación binaria darán ceros. ¿Cuántos habrá? Pues exactamente p-1, que es un número par de ceros.
  • Y la segunda es que hay p potencias de 2 consecutivas que aparecen en esa expresión, que por tanto corresponderán con p unos consecutivos en la representación binaria.

¿Qué significa todo esto? Pues que a partir de la correspondencia biunívoca entre los números perfectos pares y los primos de Mersenne no es para nada sorprendente que la representación binaria de los números perfectos pares tenga siempre la estructura siguiente

K=\underbrace{ 1 \ldots 1 }_{p} \underbrace{ 0 \ldots 0}_{p-1}

sino más bien que es evidente que debe ser así.

Una consecuencia de todo esto es que, aunque no nos vale a encontrar números perfectos pares, esta propiedad nos podría servir para descartar que un número entero sea un número perfecto par: calculamos su representación binaria y si no es un número primo de unos seguidos de un número par de ceros entonces ya sabemos que el número en cuestión no es un número perfecto par. Cierto es que no es de mucha ayuda, pero algo es algo, ¿no?

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

6 Comentarios

  1. ¡Qué interesante!…De manera intuitiva, diría que hay infinitos números perfectos, y que no hay ningún número perfecto impar, pero no sé…va para mi lista de problemas matemáticos 😛

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  2. La estructura de divisores de los números perfectos también es interesante. Veamos por ejemplo la estrucura de divisores de 33550336, el quinto número perfecto:
    1)……………….. 1 = 2^0 …………….. 1
    2)……………….. 2 = 2^1 …………….. 10
    3)……………….. 4 = 2^2 …………….. 100
    4)……………….. 8 = 2^3 …………….. 1000
    5)……………… 16 = 2^4 …………….. 10000
    6)……………… 32 = 2^5 …………….. 100000
    7)……………… 64 = 2^6 …………….. 1000000
    8)……………. 128 = 2^7 …………….. 10000000
    9)……………. 256 = 2^8 …………….. 100000000
    10)………….. 512 = 2^9 …………….. 1000000000
    11)………… 1024 = 2^10 …………… 10000000000
    12)………… 2048 = 2^11 …………… 100000000000
    13) ……….. 4096 = 2^12 …………… 1000000000000 … (El 5º número superperfecto)
    14) ……….. 8191 = 2^13 – 2^0 ….. 1111111111111 … (El 5º primo de Mersenne)
    15) ……… 16382 = 2^14 – 2^1 ….. 11111111111110
    16) ……… 32764 = 2^15 – 2^2 ….. 111111111111100
    17) ……… 65528 = 2^16 – 2^3 ….. 1111111111111000
    18) ……. 131056 = 2^17 – 2^4 ….. 11111111111110000
    19) ……. 262112 = 2^18 – 2^5 ….. 111111111111100000
    20) ……. 524224 = 2^19 – 2^6 ….. 1111111111111000000
    21) ….. 1048448 = 2^20 – 2^7 ….. 11111111111110000000
    22) ….. 2096896 = 2^21 – 2^8 ….. 111111111111100000000
    23) ….. 4193792 = 2^22 – 2^9 ….. 1111111111111000000000
    24) ….. 8387584 = 2^23 – 2^10 … 11111111111110000000000
    25) … 16775168 = 2^24 – 2^11 … 111111111111100000000000
    26) … 33550336 = 2^25 – 2^12 … 1111111111111000000000000 … (El 5º número perfecto)

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  3. El sistema binario siempre me resulta interesante de analizar, intuyo que la respuesta para los números primos se encontrará en un sistema que tenga como base un número primo… talvés sea el 2…

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  4. Una cosa que no me ha quedado muy clara… Todos los números perfectos siguen la estructura 2^(p-1)* (2^p+1) para p∈P, verdad? (lo siento,pero no se usar latex)

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  5. Eso quiere decir que
    1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 sería un numero perfecto (presumiblemente el siguiente)…

    En decimal: 2658455991569831744654692615953842176

    Entonces… si 2^(n–1)(2^n – 1) = 2658455991569831744654692615953842176

    Y sabiendo que (2^n – 1) es un numero primo…. despejando la n ¿Hemos encontrado una manera fácil de hallar números primos?

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  6. he descubierto parcialmente la imposibilidad de un numero perfecto impar desde un nuevo acercamiento que nadie antes ha seguido, tratare de mejorar la demostración para que abarque a la imposibilidad de todo numero perfecto impar

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