Una demostración de Monge del Teorema de Reciprocidad Polar

Este artículo es una colaboración de fede enviada por mail a gaussianos (arroba) gmail (punto) com.

En su Geometría Descriptiva (art.39), Gaspard Monge enuncia la proposición que traduzco a continuación, de la que da una demostración muy asequible que creo que no es demasiado conocida.

Sean en un plano una círcunferencia y una recta n. Trazamos desde un punto cualquiera P de esa recta las dos tangentes a la circunferencia y la recta p que pasa por los dos puntos de contacto.

Si el punto P se mueve sobre la recta n, arrastrando con él las dos tangentes sin que dejen de tocar a la circunferencia, los dos puntos de contacto cambiarán de posición, así como la recta p que los une.

Pero esta recta pasará siempre por un mismo punto N, que se encuentra sobre la perpendicular trazada desde el centro de la circunferencia a la recta n.

Recíprocamente, si N es un punto en el plano de la circunferencia, los puntos de intersección de las dos tangentes a la circunferencia por los extremos de las cuerdas que pasan por N, están en una linea recta n.



Este resultado, formulado de otra forma, es el teorema de reciprocidad polar:


Si P está en la polar de N, N está en la polar de P.

El argumento que Monge da para el caso en que la recta n por la que se mueve P no corta a la circunferencia, es el siguiente:

Generamos una esfera mediante la revolución de la circunferencia alrededor de cualquiera de sus diámetros.

Llamamos plano base a nuestro plano de partida, que contiene el centro de la esfera y la recta n.

Hay dos planos que pasan por la recta n y son tangentes a la esfera. Esos planos tocan a la esfera en dos puntos, S y T, simétricos respecto al plano base.

Uno de esos dos planos pasa por S y n y por tanto contiene las lineas que pasan por S y por un punto cualquiera situado en n, que serán tangentes a la esfera en S,

El conjunto de las lineas que pasan por un punto P situado en n y que son tangentes a la esfera forma un cono que toca a la esfera en una circunferencia de contacto determinada.

La linea PS es una tangente a la esfera que pasa por P, y por tanto es una de las lineas que forman el cono de tangentes.

También está en el plano que pasa por S y n, y es entonces la línea de contacto entre el cono y ese plano.

Por tanto todas las circunferencias de contacto de los conos cuyo vértice P esté en n pasan por S.

También pasarán por su simétrico T respecto al plano base, y entonces ST es una cuerda común a todas las circunferencias de contacto de los conos tangentes a la esfera, cuyos vértices estén en n.

La proyección ortogonal sobre el plano base proyecta las circunferencias de contacto sobre cuerdas de la circunferencia de partida, y ST se proyecta en un punto N, el mismo para todas las puntos P de n, que es la proposición que queríamos demostrar, en el caso de que n sea exterior a la esfera.

La proposición enunciada al principio es proyectiva y sigue siendo cierta si sustituimos la palabra ‘circunferencia’ por ‘sección cónica’ (quitando la frase ‘que se encuentra sobre la perpendicular….’). Porque podemos proyectar desde un punto el plano de la sección cónica sobre otro plano en que la cónica se transforme en un círculo, y las proyecciones preservan tangencias e incidencias.


Como podéis ver fede se ha aficionado a GeoGebra. No es el único, yo también le estoy cogiendo el gustillo poco a poco. Seguro que éste no será el último artículo en el que se use este interesante programa.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

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