Una demostración visual sobre números naturales y secuencias contadoras

Este artículo es una colaboración enviada por fede a gaussianos (arroba) gmail (punto) com.


Este post sobre una curiosa propiedad de determinadas particiones en dos conjuntos de algunos conjuntos finitos de números me recordó una curiosa propiedad de cualquier partición en dos conjuntos infinitos del conjunto de todos los números naturales que leí en algún libro de Honsberger.

Sea P = \{2, 3, 5, 7, 11, \cdots \} una secuencia cualquiera no decreciente,esto es, P(n), \  n \ge 0, de enteros no negativos.

La función \pi(h) que da el número de términos de la secuencia P(n) que son menores o iguales que h, \  h \ge 0, define una nueva secuencia no decreciente de enteros no negativos que para la secuencia anterior P resulta ser \pi = \{0,0,1,2,2,3,3,4, \cdots \}

A esta segunda secuencia, cuyos términos cuentan los términos de la primera menores o iguales que h, la llamamos secuencia contadora de la primera secuencia.

Como la secuencia contadora es una secuencia no decreciente de no negativos, podemos obtener a su vez la secuencia contadora de esta secuencia contadora y así sucesivamente.

Pero sucede que:

Dada cualquier secuencia no decreciente de enteros no negativos, la secuencia contadora de la secuencia contadora es la secuencia inicial.

La curiosa conexión con las particiones de números está en:

Si tomamos dos secuencias de forma que una sea la secuencia contadora de la otra, y sumamos vectorialmente a cada una de ellas la secuencia de todos los naturales N= \{1,2,3,4,5, \cdots \}, resulta una partición \{A, B\} de los números naturales.

En el caso de las secuencias anteriores P y \pi resulta la partición:

A= \{3, 5, 8, 11, \cdots \}

B= \{1, 2, 4, 6, 7, 9, 10, 12, \cdots \}

Recíprocamente, si partimos en dos subconjuntos infinitos el conjunto de todos los naturales y restamos la secuencia N= \{1,2,3,4,5, \cdots \} de los naturales de las dos secuencias resultantes de la partición, obtenemos dos secuencias no decrecientes de enteros no negativos que son cada una contadora de la otra.

Los resultados anteriores tienen una demostración visual sin palabras, debida a Dijkstra.

Si busca, el lector encontrará representadas en la figura adjunta las 4 secuencias que hemos usado como ejemplo:

P = \{2, 3, 5, 7, 11,  \cdots \}

\pi = \{0,0,1,2,2,3,3,4, \cdots \}

A= \{3, 5, 8, 11, \cdots \}

B= \{1, 2, 4, 6, 7, 9, 10, 12, \cdots \}

y la secuencia
N= \{1,2,3,4,5, \cdots \}, de los números naturales.

Y, tras unos momentos de reflexión, verá que la posibilidad de construir una figura análoga para cualquier partición en dos de los naturales da una demostración de los hechos anteriormente expuestos.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

10 Comentarios

  1. No lo entiendo, ¿qué significa que una secuencia es contadora de otra?

    Publica una respuesta
  2. Mirando la secuencia del ejemplo:
    P = {2,3,5,7,11}, la contadora D(h) es la que cuenta cuantos números hay menores o iguales que h en la secuencia P siendo h>= 0.
    ejem:
    h=0, D(0) = 0, ya que no hay ningún valor menor o igual que 0 en P.
    h=1, D(1) = 0, ya que no hay ningún valor menor o igual que 0 en P.
    h=2, D(2) = 1, ya que 2 pertenece a P.
    h=3, D(3) = 2, ya que en P están el 2 y el 3 (menor o igual que h).
    h=4, D(4) = 2, ya que en P están el 2 y 3.
    h=5, D(5) = 3, en P están 2, 3 y 5.

    de esta forma tenemos que D = {0,0,1,2,2,3 …).

    Publica una respuesta
  3. Ah vale, muchas gracias es que no lo entendía porque no lo había visto nunca y como no estaba el desarrollo en el post, pues no entendía la explicación que viene en él.

    Muchas gracias Orlin.

    Un saludo

    Publica una respuesta
  4. Pues debo ser muy obtuso pero el caso es que no veo las cuatro secuencias en el gráfico ni, lo más importante, cómo se construyen.

    Publica una respuesta
  5. Por cierto, aunque pueda parecer trivial, pienso que habría que exigir que las secuencias no sólo fueran no decrecientes, sino que cada término se repita un número finito de veces, pues de lo contrario no estaría definida su secuencia contadora.

    Publica una respuesta
  6. @MMA:
    Fíjate que en el gráfico hay un rectángulo que ocupa un cuadrito, si miras a la derecha de este hay otro rectángulo que ocupa 2; al lado, otro que ocupa 4, 6, 7, 9… a medida que avanzas hacia la derecha (ya tienes B).

    Si en lugar de ir hacia la derecha subes, verás que hay un rectangulo de 3 cuadritos, encima otro de 5, 8, 11… y así a medida que subes (ya tienes A).

    El hecho de la yuxtaposición de todos estos rectángulos ocupe la mitad del plano indica que entre los dos grupos cubren todos los números naturales.

    Si te fijas, hay una línea de puntos que delimita un área rectangular del plano. Esta línea equivale a restar a cada secuencia de rectángulos la serie de los naturales 1, 2, 3, 4…

    Dentro del rectangulo delimitado por la línea de puntos veras, subiendo, rectángulos de 2, 3, 5, 7 … cuadritos. Si en lugar de subir, te desplazas hacia la derecha veras rectángulos de 0, 0, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 4… cuadritos.

    Espero que te ayude mi comentario.
    Saludos.

    Publica una respuesta
  7. MMA, buena obervación, como dices las secuencias no solo deben ser no-decrecientes sino además tender a infinito, para que exista la contadora.

    Y creo que en el diagrama por ejemplo la secuencia 2,3,5,7….aparece a la derecha de la
    linea de puntos vertical…

    Publica una respuesta
  8. vaya… que sorprendente el arreglo.
    A dijkstra lo conocia solo por su algoritmo de caminos mas cortos.

    Publica una respuesta
  9. Un sencillo pero bonito problema de combinatoria: Quien se anima a demostrar:
    {{2n} \choose n}=\sum_{k=0}^{n}{{n} \choose k}^2

    Publica una respuesta

Puedes utilizar código LaTeX para insertar fórmulas en los comentarios. Sólo tienes que escribir
[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
o
$latex código-latex-que-quieras-insertar$.

Si tienes alguna duda sobre cómo escribir algún símbolo puede ayudarte la Wikipedia.

Y si los símbolos < y > te dan problemas al escribir en LaTeX te recomiendo que uses los códigos html & lt; y & gt; (sin los espacios) respectivamente.

Envía un comentario

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos obligatorios están marcados con *