Una fracción…¡¡infinita!!

Esta semana tenemos un problema propuesto por Domingo que involucra a $\pi$ y a las fracciones continuas:

Calcular el valor exacto de la fracción continua infinita

$\cfrac{\pi^2}{1-\cfrac{\pi^2}{3-\cfrac{\pi^2}{5-\cfrac{\pi^2}{7-\cfrac{\pi^2}{9-\cfrac{\pi^2}{11\ddots}}}}}}$

$\vspace{2cm}$

Este valor debe interpretarse como límite de la sucesión de fracciones parciales

$\cfrac{\pi^2}{1},\quad \cfrac{\pi^2}{1-\cfrac{\pi^2}{3}},\quad \cfrac{\pi^2}{1-\cfrac{\pi^2}{3-\cfrac{\pi^2}{5}}},\quad \cfrac{\pi^2}{1-\cfrac{\pi^2}{3-\cfrac{\pi^2}{5-\cfrac{\pi^2}{7}}}},\quad \cfrac{\pi^2}{1-\cfrac{\pi^2}{3-\cfrac{\pi^2}{5-\cfrac{\pi^2}{7-\cfrac{\pi^2}{9}}}}},\quad \cfrac{\pi^2}{1-\cfrac{\pi^2}{3-\cfrac{\pi^2}{5-\cfrac{\pi^2}{7-\cfrac{\pi^2}{9-\cfrac{\pi^2}{11}}}}}},\;\ldots$

Se pide la suma (el límite de la sucesión de sumas parciales) y la justificación de la misma. A ver cuánto dura.

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 22 de Enero de 2008
Categorías: Juegos

23 comentarios

Toro Sentado | 22 de Enero de 2008 | 11:30

Da 0, si no he errado en la demostración
Toro Sentado | 22 de Enero de 2008 | 11:37

Concretamente da:
$-\pi\cdot i \cdot tanh(\pi\cdot i)$
Guille | 22 de Enero de 2008 | 12:07

Cada vez que entro aquí me voy con una depresión :).
Domingo HA | 22 de Enero de 2008 | 12:36

Muy bien Toro Sentado, pero no es necesario expresar el resultado en forma compleja. De hecho, el valor de la fracción es $\pi\cdot tan\;\pi$

¿Puedes indicarnos cómo lo obtuviste?
Toro Sentado | 22 de Enero de 2008 | 12:54

He visitado la wikipedia para recordar el tema de las fracciones continuas y allí he encontrado la fracción continua de la tangente hiperbólica.
Salta a la vista el parecido de esta fracción con la expresión del problema.
Simplemente multiplicando y dividiendo por x cada fracción y sustituyendo la variable x por $\pi\cdot i$ se llega al resultado.
Toro Sentado | 22 de Enero de 2008 | 16:17

Seria interesante saber de donde sale la equivalencia de funciones en fracciones continuas.
Supongo que a partir del desarrollo en series de Taylor, no?
Domingo H.A. | 22 de Enero de 2008 | 17:19

Toro Sentado, en unos días, y si nadie aporta otra cosa, indicaré la forma más sencilla que conozco de deducir el desarrollo en fracción continua de la tangente y la tangente hiperbólica.

Además, este ejercicio nos conduce a una prueba de la irracionalidad de $\pi$ …
JBZ | 22 de Enero de 2008 | 17:54

buen ejercicio…. yo por otro lado.. todavia etsoy resolviendo el de la sucecion de partes enteras propuestas hace poco… cuando termine ese (que estoy a punto jejeje) sigo con este…
Toro Sentado | 22 de Enero de 2008 | 19:52

Bien, intentaré pensar algo sobre ello.
Además, las demostraciones de irracionalidad son muy interesantes
Esteban Lopez | 23 de Enero de 2008 | 3:05

La irracionalidad se demuestra debido a que no existe un numero finito de veces que toque desarrollar el algoritmo de la division para llegar al numero PI; y esto se puede ver en que las fracciones continuas son infinitas

[PI^2;1,3,5,7,9,....]

Creo que esa notacion solo se usa cuando se trabaja con numerador unitario si algo me lo corrigen Gracias
Toro Sentado | 24 de Enero de 2008 | 0:27

Perdón, las que son muy interesantes son las demostraciones de la trascendencia de $\pi$ , me confundí
Domingo H.A. | 24 de Enero de 2008 | 0:42

Toro sentado, la verdad es que las demostraciones de tanto la irracionalidad como de la trascendencia de $e$ y $\pi$ son temas apasionantes. Publicadas en el blog darían mucho juego.

Pueden verse demostraciones sencillas de estos hechos en dos libros muy muy interesantes: “Matemática elemental desde un punto superior. Álgebra, aritmética y análisis”, de Félix Kelin; y en “La saga de los números”, de Antonio Córdoba. Sin duda dos grandes libros que merece la pena leer con detalle.
Domingo H.A. | 24 de Enero de 2008 | 0:43

quise decir Félix Klein.
^DiAmOnD^ | 24 de Enero de 2008 | 6:12

Domingo hace un tiempo publiqué una demostración de que $e$ es irracional. Puede verse en esta entrada.

Publicar las otras sería muy interesante. Tengo una por ahí de la irracionalidad de $\pi$ . A ver si este finde tengo tiempo de escribirla.
Domingo H.A. | 24 de Enero de 2008 | 11:21

Hacía un tiempo que tenía ganas de escribir esta prueba de irracionalidad, y parece que puede encajar bien aquí:

Vamos a demostrar en tres pasos, la irracionalidad de los números $\sqrt{n}$ , cuando $n$ no es cuadrado perfecto.

1) Si el polinomio de coeficientes enteros $p(x) = a_0+a_1 x+\ldots+a_n x^n$ tiene una raíz racional (irreducible) $\cfrac{p}{q}$ , entonces $p| a_0$ y $q|a_n$ .

2) Si un polinomio con coeficientes enteros es mónico ( $a_n=1$ ), entonces sus raíces reales deben ser enteras o irracionales.

3) Si $n$ es un número natural que no es cuadrado entonces la raíces del polinomio $p(x)=x^2-n$ son irracionales.

En particular, para $n=2$ , obtenemos una prueba alternativa de la irracionalidad de $\sqrt{2}$ .
Asier | 24 de Enero de 2008 | 17:58

Una demostración preciosa, Domingo! (¿es tuya?). No conocía la propiedad 1 pero ya lo he entendido.

El mismo razonamiento serviría para demostrar que la raíz k-ésima de un número natural que no está elevado a k (o múltiplos) tiene que ser irracional, no?
Domingo H.A. | 24 de Enero de 2008 | 19:08

Asier, la demostración no es mía ni mucho menos. La propiedad 1) es muy sencilla de demostrar y se suele ver en alguna asignatura de análisis numérico que trate la resolución numérica de ecuaciones de variable real (acotación de raíces, sucesiones de Sturm,…)

Efectivamente, lo que me gusta de la prueba es su generalidad. Aunque siempre nos quedará el romanticismo de la demostración de la irracionalidad de $\sqrt{2}$ por reducción al absurdo.
Tito Eliatron | 24 de Enero de 2008 | 19:39

De hecho esa propiedad se utiliza cuando se utiliza RUFFINI y a mi, en particular, me lo enseñaron en la EGB
Domingo H.A. | 24 de Enero de 2008 | 20:26

llevas razón, Tito…qué tiempos aquellos
Toro Sentado | 25 de Enero de 2008 | 0:19

Vale, me he leído el post sobre la irracionalidad de $\pi$ y la demostración de Domingo y rectifico, las demostraciones de irracionalidad también son impresionantes.

Quizás lo que pasa es que intuitivamente veo claro que $\pi$ y e son irracionales pero me cuesta mucho ver que son trascendentes, por ello quizás me seducen más las demostraciones de trascendencia.
Domingo H.A. | 25 de Enero de 2008 | 0:37

bueno Toro Sentado, gracias a Cantor se conoce que “casi todos” los números que puedas imaginar son trascendentes Por otro lado, las demostraciones de trascendencia para $e$ y, sobre todo, $\pi$ no son nada sencillas. Las de irracionalidad las puede entender un/a alumno/a algo aventajado/a del último curso de bachillerato, pero las de trascendencia requieren unas cuantas reflexiones.

Una cuestión interesante que se podría comentar es la relativa a los números de Liouville y sus métodos para obtener números trascendentes http://en.wikipedia.org/wiki/Liouville_number
Omar-P | 25 de Enero de 2008 | 12:05

¿Y cuál es el valor de la fracción contínua infinita si reemplazamos los números impares por los números primos?
Domingo H.A. | 25 de Enero de 2008 | 21:17

Bueno, ya que es viernes, vamos a explicar un poco cómo puede obtenerse el desarrollo en fracción continua de la tangente (y de la tangente hiperbólica). El ejercicio estaba propuesto para hacer uso de este desarrollo.

1) Vamos a considerar la función

$H(a;z):=1+\cfrac{1}{a}\cdot\cfrac{z}{1!}+\cfrac{1}{a(a+1)}\cdot\cfrac{z^2}{2!}+<br /> \cfrac{1}{a(a+1)(a+2)}\cdot\cfrac{z^3}{3!}+\ldots+\cfrac{1}{a(a+1)\ldots(a+n)}\cdot\cfrac{z^{n+1}}{(n+1)!}+\ldots$

Esta función (compleja) está definida y es derivable (analítica) en todo punto $z$ . Se suele denotar por $H=_0F_1$ y se denomina función hipergeométrica confluente límite http://mathworld.wolfram.com/ConfluentHypergeometricLimitFunction.html

2) Esta función satisface una ley de recurrencia inversa muy interesante, que es clave para obtener desarrollos en fracciones continuas. Operando un poco se ve fácil que:

$H(a;z)-H(a+1;z)=\cfrac{z}{a(a+1)}H(a+2;z)$

y de aquí (dividiendo por $H(a+1;z)$ ) que

$\cfrac{H(a+1;z)}{H(a;z)}=\cfrac{1}{1+\cfrac{z}{a(a+1)}\cfrac{H(a+2;z)}{H(a+1;z)}}$

Considerando $a=\frac{1}{2}$ , $z=\frac{x^2}{4}$ y usando recursivamente la última recurrencia, llegamos (obviando un poco la convergencia de la fracción infinita) a

$\cfrac{H(\frac{3}{2};\frac{x^2}{4})}{H(\frac{1}{2};\frac{x^2}{4})}=<br /> \cfrac{1}{1+\cfrac{x^2}{3+\cfrac{x^2}{5+\cfrac{x^2}{7+\ddots}}}}$

3) Por otro lado, escribiendo los desarrollos en serie, vemos que

$H(\frac{1}{2};\frac{x^2}{4})=\cfrac{e^x+e^{-x}}{2}=cosh\;x$

$H(\frac{3}{2};\frac{x^2}{4})=\cfrac{e^x-e^{-x}}{2x}=\cfrac{sinh\;x}{x}$

4) En definitiva, obtenemos lo que decía Toro Sentado:

$\cfrac{tanh\;x}{x}=\cfrac{1}{1+\cfrac{x^2}{3+\cfrac{x^2}{5+\cfrac{x^2}{7+\ddots}}}}$

y tomando $i\cdot x$ ( $i=\sqrt{-1}$ ), en lugar de $x$ , se tiene entonces el desarrollo de la tangente:

$\cfrac{tan\;x}{x}=\cfrac{1}{1-\cfrac{x^2}{3-\cfrac{x^2}{5-\cfrac{x^2}{7-\ddots}}}}$

La fracción pedida corresponde entonces a $\pi\cdot tan\pi=0$

5) Decíamos que esta cuestión nos conducía a una prueba de la irracionalidad de $\pi$ . Veamos.

Hay un resultado de Legendre sobre fracciones continuas que dice que

“Si una fracción continua infinita $\cfrac{a_1}{b_1+\cfrac{a_2}{b_2+\cfrac{a_3}{b_3+\cfrac{a_4}{b_4+\ddots}}}}$

donde los coeficientes $a_i$ ’s y $b_i$ ’s son enteros de modo que los cocientes $\cfrac{a_i}{b_i}$ son menores que 1 de un cierto índice $i$ en adelante, entonces la fracción continua infinita converge a un número irracional.” (De hecho, toda fracción continua infinita converge y define un número irracional, “Elementary Number Theory”, David Burton, Cap. 13)

Entonces si $\pi$ fuera racional, también lo sería $\cfrac{\pi}{4}$ , y según el resultado previo y el desarrollo de la tangente debería ser que $tan\frac{\pi}{4}=1$ es irracional, lo cual es absurdo. En definitiva, $\pi$ es irracional.

Aunque esta prueba también sirve para probar que $\pi^2$ es irracional y tiene un encanto especial, la prueba de irracionalidad de $\pi$ basada en los polinomios de Niven (que también sirve para $\pi^2$ ) es bastante más accesible.