Una fracción muy “progresiva”

El mundo de las matemáticas está repleto de curiosidades numéricas que en muchas ocasiones son capaces de dejarnos con la boca abierta. Una de ellas es la que esconde la fracción 1 \over 729.

Si calculamos la expresión en decimales de dicha fracción obtenemos un número decimal periódico cuyo período consta de 81 dígitos:

\begin{matrix} \cfrac{1}{729}=0,\overline{001371742112482853223593964334705075445816186556927297668038408779149} \\  \overline{519890260631} 0013717421124828532235939643347050754458161865569272976 \ldots \end{matrix}

Y la tremenda curiosidad de este número viene ahora. Si cortamos este período en nuevo trozos de nueve decimales cada uno

\begin{matrix} 001371742 \\ 112482853 \\ 223593964 \\ 334705075 \\ 445816186 \\ 556927297 \\ 668038408 \\ 779149519 \\ 890260631 \end{matrix}

obtenemos ocho números de nueve cifras cada uno que están en progresión aritmética cuya diferencia es 111111111 y un noveno (el último) cuya diferencia con el anterior es 111111112. La verdad es que este hecho le quita un poco de gracia al asunto, pero la cosa no deja de ser curiosa.

¿Conocéis otros casos parecidos a éste?


Vía Futility Closet, donde, por cierto, se han confundido y dicen que los nueve números están en progresion aritmética de razón 111111111.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

10 Comentarios

  1. Y si sumamos 111111111 al último número de la secuencia y consideramos el resultado módulo 10^9, volvemos a obtener el primero.

    En realidad la progresión es aproximadamente geométrica módulo 10^9, y la razón es 82 (algo parecido sucedería con todos los números decimales de cualquier racional, no es una propiedad extraña del 729). La progresión geométrica es aproximada porque despreciamos los decimales al hacer grupos de 9, si no fuera por eso, sería perfecta.

    Parece una razón aritmética, porque 82 multiplicado por 111111111,1111… (que es la razón real de la progresión aritmética y por eso al final se acumula el error que ‘afea’ el resultado), da 9111111111,1111… y como el cálculo es módulo 10^9 pues… pues eso.

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  2. A mi lo que mas me alucina es que en cada columna de la matriz, empezando por la izquierda, tenemos todos los numeros del 0 al 9 a excepcion de los siguientes progresivamente: 987654320 (y curiosamente siempre ordenados de arriba a abajo en orden ascendente hasta llegar al 0 que vuelve a empezar)

    De hecho, si hubiese sido un 1 el ultimo 0, los numeros que faltarian en cada columna serian 987654321, y de lo dicho ateriormente de laprogresion aritmetica si que saldria siempre 111111111.

    Parece una broma pesada de las matematicas, hacer un numero tan perfecto con un fallo tan notable que hace que sea imperfecto xD

    PD: Enhorabuena por la pagina, no entiendo mucho de matematicas pero me alucinais con las curiosidades que aportais.

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  3. Hay infinidad de números con esta propiedad, basta realizar el proceso a la inversa.
    -Escogemos un número de n cifras (9 en el ejemplo).
    -Le sumamos m veces otro número de n cifras (111111111 en el ejemplo), nótese que las cifras pueden ser ceros, y que se tiene que verificar que una vez sumemos el segundo número m veces al primero tiene que seguir teniendo n cifras.
    -Hayamos la fracción correspondiente al número que obtenemos poniendo cero coma todos los anteriores seguidos período.
    No he realizado este proceso, pero probablemente obtengas una fracción con números descomunales, quizás lo curioso de este ejemplo sea la simplicidad de la fracción.

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  4. Otra curiosidad:
    escribimos el número 7, lo duplicamos a su derecha una línea más abajo, duplicamos de nuevo y lo colocamos a la derecha una línea más abajo y seguimos indefinidamente cuidando de que cada nuevo número termine dos lugares a la derecha del anterior. quedará algo parecido a esto:
    7
    14
    28
    56
    112
    224
    448
    896
    1792
    ……..
    Si sumáramos la indefinida lista de números escritos obtendremos 71428571428571428….
    Este es el período de cualquier división por 7 de números no múltiplos de 7.
    Los múltiplos de 7 m´s 1 dan el período 142857
    Los múltiplos de 7 más 2 dan el período 285714
    Los múltiplos de 7 más 3 dan el período 428571
    Los múltiplos de 7 más 4 dan el período 571428
    Los múltiplos de 7 más 5 dan el período 714285
    Los múltiplos de 7 más 6 dan el período 857142
    Como puede verse siempre se utilizan los mismos números y en el mismo orden en que aparecen en la suma obtenida sumando los valores 7*2^n desplzados dos lugares hacia la derecha.

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  5. No consigo editarlo bien. En la lita inicial hay, como digo, que desplazar cada número de forma que su dígito de las unidades quede dos lugares a la derecha del de encima.

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  6. Si desarrollamos 1/6561 (1/9^4) su periodo es de 729 (3^9) dígitos. Al cortarlo en 9 trozos de 81 (9^2) dígitos esos números tienen las mismas propiedades:

    000152415790275872580399329370522786160646242950769699740893156531016613321140070
    111263526901386983691510440481633897271757354061880810852004267642127724432251181
    222374638012498094802621551592745008382868465172991921963115378753238835543362292
    333485749123609205913732662703856119493979576284103033074226489864349946654473403
    444596860234720317024843773814967230605090687395214144185337600975461057765584514
    555707971345831428135954884926078341716201798506325255296448712086572168876695625
    666819082456942539247065996037189452827312909617436366407559823197683279987806736
    777930193568053650358177107148300563938424020728547477518670934308794391098917847
    889041304679164761469288218259411675049535131839658588629782045419905502210028959

    Y lo mismo pasa con el resto de potencias de 9.

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  7. Hay que recordar que 729 = 3^6 = 9^3 y esto nos relaciona las series de diferencias de unos y el error final de una unidad en el último dígito

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  8. Si analizamos el caso 1/9^k, observamos que 10^(9^(k-2)) mod (9^k) = 1 + 9^(k-1). A partir de ahí se ve que la diferencia entre bloques de longitud 9^(k-2) es 10^(9^(k-2)) / 9 que vale 111…111,111… Cada dos bloques la diferencia es 111…111 salvo entre el octavo y el noveno en que es 111…112 por el error acumulado de los decimales, que suma exactamente 1 y permite que el periodo empiece de nuevo.

    Saludos, Juanjo. 🙂

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  9. Mmonchi
    es un placer trabajar en cooperacion contigo (y con otros por supuesto)

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