Una inesperada aparición del número áureo

Hay números, digamos, extraños que de una forma u otra se empeñan en aparecer en los lugares más inesperados. Uno de ellos, sin lugar a dudas es \pi (Pi), cuyas apariciones son cuanto menos sorprendentes. El número e y \phi, el número áureo, son otras dos constantes interesantes en este sentido. Hoy vamos a ver una aparición de esta última, que no por conocida deja de ser inesperada.

Imaginemos que tenemos un pentágono regular de lado L conocido, como el de la figura

y queremos calcular la distancia del centro a cualquiera de los vértices. Si representamos el centro, F, y los segmentos que unen ese centro con dos vértices consecutivos del pentágono, obtenemos que dichos segmentos forman un ángulo de \textstyle{\frac{2 \pi}{5}=72^\circ}:

Una forma de comenzar el cálculo que queremos hacer podría ser dibujar la apotema (segmento que une el centro con el punto medio de un lado) y razonar a partir del triángulo rectángulo resultante:

Ahora, el ángulo formado por la apotema y por nuestro segmento objetivo es de \textstyle{\frac{\pi}{5}=36^\circ}. El problema es que no sabemos cuál es la longitud de la apotema, por lo que estamos más o menos igual. Todo se arreglaría si supiéramos el valor de \cos{(\frac{\pi}{5})} o de \sin{(\frac{\pi}{5})} (con trigonometría obtendríamos tanto la apotema como el segmento que buscamos). Podemos usar la calculadora, pero si lo hacéis podéis ver que no queda nada descriptivo. Y no nos engañemos, no queda nada bonito dar un resultado así. Por ello, vamos a intentar calcular estas dos razones trigonométricas de forma elegante.

Partimos de la fórmula de Euler para números complejos:

e^{i \theta}=\cos{\theta}+i \; \sin{\theta}

Si elevamos a 5 podemos obtener dos expresiones distintas. Por un lado, como (e^{i \theta})^5=e^{i5 \theta}, entonces

e^{i5 \theta}=(\cos{\theta}+i \; \sin{\theta})^5

Por otro lado, sustituyendo \theta por 5 \theta obtenemos

e^{i5 \theta}=\cos{5 \theta}+i \; \sin{5 \theta}

Por tanto, tendríamos la siguiente igualdad:

(\cos{\theta}+i \; \sin{\theta})^5=\cos{5 \theta}+i \; \sin{5 \theta}

La cuestión ahora sería desarrollar la potencia quinta que hay a la izquierda, agrupar como un número complejo en forma binómica (parte real por un lado y parte imaginaria por otro) e después igualar por partes al miembro de la derecha.

El desarrollo os lo dejo a vosotros. Después de ello obtendríamos las siguientes igualdades:

\cos{5 \theta}=\cos^5{\theta}-10 \sin^2{\theta} \cos^3{\theta}+5 \sin^4{\theta} \cos{\theta}

\sin{5 \theta}=\sin^5{\theta}-10 \sin^3{\theta} \cos^2{\theta}+5 \sin{\theta} \cos^4{\theta}

Nos quedamos con la segunda, ya que aunque queremos calcular el coseno, la ecuación que vamos a obtener por este camino es más cómoda. Después de hacer las operaciones, donde usaremos que \cos^2{\theta}+\sin^2{\theta}=1 para eliminar las apariciones de \cos{\theta}, llegamos a la siguiente expresión:

\sin{5 \theta}=\sin{\theta} (16 \sin^4{\theta}-20 \sin^2{\theta}+5)

Tomamos ahora \theta=\frac{\pi}{5}, con lo que en la parte izquierda nos queda que \sin{5 \cdot \frac{\pi}{5}}=\sin{\pi}=0. Escribiendo ahora z=\sin{\frac{\pi}{5}}, nos queda que tenemos que resolver la siguiente ecuación:

0=z(16 z^4-20 z^2+5) (1)

Antes de resolver la ecuación conviene tener una idea del valor de \sin{\frac{\pi}{5}}, algo que va a ser muy sencillo con la ayuda de este post sobre el famoso cuadro de los valores de las razones trigonométricas. Como en el primer cuadrante el coseno es decreciente, tenemos lo siguiente:

\cos{\cfrac{\pi}{5}} \in \left ( \cos{\cfrac{\pi}{4}},\cos{\cfrac{\pi}{6}} \right )=\left (\cfrac{\sqrt{2}}{2},\cfrac{\sqrt{3}}{2} \right )

Y como en ese primer cuadrante, al que pertenece \pi /5, el seno es creciente, se tiene que:

\sin{\cfrac{\pi}{5}} \in \left ( \sin{\cfrac{\pi}{6}},\cos{\cfrac{\pi}{4}} \right )=\left (\cfrac{1}{2},\cfrac{\sqrt{2}}{2} \right )

Tenemos que tener en cuenta ahora esto último.

Resolvamos la ecuación (1). La primera solución que obtenemos es z=0, que no es posible ya que no está dentro del intervalo anterior. La otra opción nos da la siguiente ecuación:

16z^4-20z^2+5=0

Resolviéndola como ecuación bicuadrada que es obtenemos las siguientes cuatro soluciones:

z_1=\sqrt{\cfrac{5+\sqrt{5}}{8}} \quad z_2=-\sqrt{\cfrac{5+\sqrt{5}}{8}} \quad z_3=\sqrt{\cfrac{5-\sqrt{5}}{8}} \quad z_4=-\sqrt{\cfrac{5-\sqrt{5}}{8}}

De ellas, z_2 y z_4 seguro que no son el valor que buscamos, ya que al ser negativas no pertenecen al intervalo. Lo mismo ocurre con z_1, ya que es mayor que \sqrt{2} /2. Nos queda entonces que la única opción es z_3, es decir:

\sin{\cfrac{\pi}{5}}=\sqrt{\cfrac{5-\sqrt{5}}{8}}

De donde, usando otra vez \cos^2{\theta}+\sin^2{\theta}=1, llegamos a la expresión del coseno:

\cos{\cfrac{\pi}{5}}=\sqrt{\cfrac{3+\sqrt{5}}{8}} (2)

Nos ha costado un poco (quizás por algún otro camino podíamos haber llegado antes), pero ya tenemos una expresión de \cos{\frac{\pi}{5}}. ¿Qué tiene que ver esto con \phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}. Lo vemos ahora mismo.

De la expresión de \phi podemos despejar \sqrt{5}, obteniendo que \sqrt{5}=2 \phi-1. Si sustituimos en (2) tenemos que:

\cos{\cfrac{\pi}{5}}=\sqrt{\cfrac{3+2 \phi -1}{8}}=\sqrt{\cfrac{2+2 \phi}{8}}=\sqrt{\cfrac{1+\phi}{4}}=

Pero sabemos que \phi es solución de la ecuación x^2-x-1=0. Esto significa, entre otras cosas, que \phi ^2- \phi -1=0. O, lo que es lo mismo, que \phi ^2=\phi+1. Siguiendo la igualdad anterior, llegamos a lo siguiente:

=\sqrt{\cfrac{\phi ^2}{4}}=\cfrac{\phi}{2}

Es decir:

\cos{\cfrac{\pi}{5}}=\cfrac{\phi}{2}

No me digáis que no es, cuanto menos, inesperado.

Bueno, a partir de este valor podemos calcular cuánto vale el seno, aunque no nos queda una expresión tan bonita:

\sin{\cfrac{\pi}{5}}=\cfrac{\sqrt{3-\phi}}{2}

Y con esto terminaríamos la búsqueda que comenzamos hace unas cuantas fórmulas, en los comienzos de este post.


Como habéis podido ver, el péntagono tiene una relación muy directa con el número áureo, hecho que seguro que muchos conocíais pero que habrá sorprendido en mayor o menor medida a más de un lector. Espero que os haya gustado este artículo, que ha salido a partir de una colaboración enviada por Pablo. Muchas gracias DonMostrenco.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

15 Comentarios

    • Hola yo tengo otra demostración a partir de la identidad de euler; simplemente otro pto. de vista de la misma identidad.

      phi=2(e^pi/5-isenpi/5)

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  1. No quiero ser troll, pero yo diría que analizar un pentágono y NO encontrar el número áureo en algún lado sería lo inesperado 🙂
    Muy buena entrada.

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  2. Primero de todo, muy buen post, y la demostración es interesante.

    Se me ha ocurrido otra demostración, más geométrica que ésta (y que creo que no aparece en los comentarios citados por M).
    El único inconveniente es que da por conocido que si tenemos un pentágono regular de lado 1, sus diagonales tienen longitud \phi.

    Usando eso, partimos de un pentágono regular de lado 1. Sus ángulos suman 3\pi. Al ser regular, cada ángulo suma \frac{3\pi}{5}. Si dibujamos el triángulo formado por dos lados y una diagonal, es isósceles, y por lo tanto el ángulo entre los lados y la diagonal es de \frac{\pi-\frac{3\pi}{5}}{2}=\frac{\pi}{5}.

    Si partimos ese triángulo en dos, formando dos triángulos rectángulos, obtenemos un triángulo con un lado de longitud 1, uno de longitud \frac{\phi}{2} (el tercero no interesa) y un ángulo entre ellos de \frac{\pi}{5}, donde el lado de longitud 1 es la hipotenusa. Por lo tanto, la longitud del cateto es el producto de la hipotenusa por el coseno del ángulo, es decir, cos(\frac{\pi}{5})=\frac{\phi}{2}.

    Espero que se haya entendido, sin dibujos es complicado explicar un argumento geométrico.

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  3. Con las mismas ecuaciones tambien se pueden relacionar i,1, 2 y 5 con el numero aureo:
    \Bigg[\frac{\phi}{2}+i\sqrt{1-\big(\frac{\phi}{2}\big)^2}  \Bigg]^5 =-1

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  4. Como dice Marcos lo inesperado seria no encontrar el Áureo en el pentagono.
    Deducimos las relaciones trigonométricas de 45 con el cuadrado, de 30 y 60 con el triángulo equilátero y con un isósceles de ángulos 72, 36 y 72 por simple proporcionalidad de triángulos las funciones de 18, facilmente por ángulo doble las de 36. Este isósceles esta en el pentagono (dos radios y lado) y en el pentágono (dos diagonales y lado).
    En el clásico problema de las mariquitas que se persiguen partiendo de los vértices de un cuadrado si lo generalizamos a un decágono el recorrido de las mariquitas es función tambien del Áureo (como problema se puede deducir esta relación)

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  5. A esta demostración le pusieron mucha crema a sus tacos. Este resultado ya lo había encontrado antes, y no se necesita de grandes conocimientos para resolverlo, sólo basta usar geometría elemental. Hasta ahora he visto dos formas de demostrarlo y una de ellas hace uso del teorema de Ptolomeo. Creo que incluso son más cortas que ésta, aunque no menos tediosas.

    La idea de ambas demostraciones es hallar el valor de los segmentos que forman el álgulo de 36° en términos de la arista; se hacen los cocientes correspondientes al ángulo y nos da el resultado que aquí se muestra. Y de paso se pueden obtener los valores de los ángulos que aparecen en todo el pentágono.

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  6. Respecto al título del post, se me olvidó comentar esta mañana que más que inesperada la aparición del número áureo en el pentágono, sí que me lo pareció como orden de convergencia de un método numérico. Recuerdo quedarme boquiabierto en primero de carrera al conocer que el número áureo es el orden de convergencia del método de la secante.

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  7. M, cierto. De hecho hace poco me venía a la cabeza este detalle, del que yo supe en tercero en la asignatura Cálculo Numérico. Y allí se llamaba convergencia “superlineal” :).

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  8. Como dijo alguien más arriba, lo sorprendente sería no encontrarse a fi en el pentágono regular … La demostración algebraica utilizando la fórmula de DeMoivre está muy bien, pero también puede obtenerse por métodos geométricos elementales, como aquí_:

    http://www.xente.mundo-r.com/ilarrosa/GeoGebra/razon_aurea.html

    Por cierto, que aunque incluyo ahi el Partenon porque este applet lo hice en el contexto de una semana de Grecia en el Instituto, me parece que la búsqueda de la proporción áurea ahí es un poco forzada y no está en absoluto documentada.

    Una aparición de fi que si que me resulto absolutamente inesperada es la que se produce en la recta que pasa por los puntos de inflexión de una función de 4º grado (si los tiene). El cociente entre la distancia de un punto de inflexión a otro, y la de cualquiera de ellos al punto más próximo en que tal recta vuelve a cortar a la gráfica es justamente fi, para cualquier función de 4º grado con puntos de inflexión:

    http://www.xente.mundo-r.com/ilarrosa/GeoGebra/Fi_en_la_cuartica.html

    La forma de demostrarlo consiste en ver que la gráfica de cualquier función de 4º grado puede llevarse mediante transformaciones afines, que mantienen la razón de distancias entre puntos alineados (razón simple de tres puntos), a la gráfica de por ejemplo (x-1)^2(x+1)^2, en la que se puede determinar sin dificultad tal proporción.

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  9. Otra forma más geométrica de obtener \cos \frac{\pi}{5} es a partir del triángulo áureo, aquél con ángulos \frac{\pi}{5}, \frac{2 \pi}{5} y \frac{2 \pi}{5} en A, B y C, respectivamente. Como es isósceles, digamos que el lado AB tiene longitud 1 y el lado grande AC mide r.

    Si bisecamos el triángulo por B, obtenemos dos triángulos isósceles: CBD, que es semejante al inicial, y BDA con ángulos \frac{\pi}{5}, \frac{3 \pi}{5} y \frac{\pi}{5}. Como CBD es isósceles, CB=BD, y como BDA también lo es, BD=DA, es decir CB=DA=1. Entonces, CD=CA-DA=r-1.

    Pero CBD y ABC son semejantes, por lo que \frac{r}{1} = \frac{1}{r-1}, luego r(r-1)=r^2 -r = 1, de lo que es solución r=\phi. Aplicando el teorema del coseno: \phi^2 + \phi^2 -2 \phi^2 \cos \frac{\pi}{5} =  2 \phi^2 (1- \cos \frac{\pi}{5})= 1. Si aislamos, 1-\cos \frac{\pi}{5}=\frac{1}{2 \phi^2}, luego:
    \displaystyle{\cos \frac{\pi}{5}= 1- \frac{1}{2 \phi^2}=\frac{2 \phi^2 -1}{2 \phi^2}=\frac{2 \phi +2 -1}{2 \phi^2}=\frac{\phi + (\phi +1)}{2(\phi+1)}=\frac{\phi + \phi^2}{2(\phi +1)}=\frac{\phi(\phi+1)}{2(\phi+1)}=\frac{\phi}{2}}.

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