Una interesante relación entre los números de Fibonacci y las ternas pitagóricas

¿Qué relación puede existir entre los números de la sucesión de Fibonacci y las ternas pitagóricas? ¿Qué nexos de unión puede haber entre los números que forman la secuencia que comienza con dos unos y para la que el resto de términos se obtiene sumando los dos anteriores y las ternas de números que cumplen que la suman de los cuadrados de los dos primeros es el cuadrado del tercero? ¿Se os ocurre alguna? Pues hoy vamos a ver una bastante interesante.

Antes de nada, vamos a ponerle símbolos matemáticos al asunto. Aunque los dos conceptos que vamos a relacionar en esta entrada son muy conocidos, no está de más recordarlos.

La sucesión de Fibonacci tiene la siguiente definición por recurrencia:

\begin{matrix} F_1=1 \\ F_2=1 \\ F_{n+2}=F_n+F_{n+1}, \; \forall n \ge 1 \end{matrix}

Y una terna pitagórica es un conjunto de tres números enteros positivos (x,y,z) tales que x^2+y^2=z^2.

Veamos esta relación tan interesante entre ellos:

Toma cuatro números consecutivos de la sucesión de Fibonacci. Los que sean, (x,y,z,w) por ejemplo. Ahora haz las siguientes operaciones:

1.- Multiplica los de los extremos, el más grande y el más pequeño, y llama a a ese producto: a=xw.

2.- Multiplica por dos el producto de los intermedios y llama b al resultado: b=2yz.

3.- Multiplica los que están en posición impar (el primero y el tercero) y por otro lado los que están en posición par (segundo y cuarto) y suma los resultados, llamando c a lo que queda: c=xz+yw.

Entonces, (a,b,c) es una terna pitagórica.

¿No os parece precioso?

¡¡Y además, la demostración es bien sencilla!! Vamos a verla:

Como (x,y,z,w) son cuatro números consecutivos de la sucesión de Fibonacci, tenemos que x+y=z y que y+z=w. Entonces podemos expresarlos todos en función de y y z de la siguiente forma:

(z-y,y,z,y+z)

Veamos ahora qué serían a,b,c:

\begin{matrix} a=(z-y)(y+z)=zy+z^2-y^2-yz=z^2-y^2 \\ \\  b=2yz \\ \\ c=(z-y)z+y(y+z)=z^2-yz+y^2+yz=z^2+y^2 \end{matrix}

Es decir, nuestra terna de números (a,b,c) tendría la forma (z^2-y^2,2yz,z^2+y^2) para dos números y,z que lo único que cumplen es que son números de Fibonacci consecutivos y que al menos hay uno en la sucesión que es menor que ellos.

O lo que es lo mismo, nuestra terna (a,b,c) es una terna pitagórica. ¿En serio que esos números forman una terna pitagórica? . Quien esté un poco vago puede mirar el enlace sobre ternas pitagóricas que dejo al final del post. Quien tenga “ganas de cuentas” puede realizar la comprobación de que la suma de los cuadrados de los dos primeros da el cuadrado del tercero:

\begin{matrix} (z^2-y^2)^2=z^4-2z^2y^2+y^4 \\ \\ (2yz)^2=4y^2z^2 \\ \\ \mbox{Sumamos: } z^4-2z^2y^2+y^4+4y^2z^2= z^4+2z^2y^2+y^4 \\ \\ \mbox{Ahora: } (z^2+y^2)^2=z^4+2z^2y^2+y^4 \end{matrix}

Maravilloso, ¿verdad? Un par de ejemplos:

1) Tomamos la terna (5,8,13,21). Tenemos que

\begin{matrix} a=5 \cdot 21=105 \\ b=2 \cdot 8 \cdot 13 = 208 \\ c=5 \cdot 13+8 \cdot 21=233 \end{matrix}

Y ahora:

\begin{matrix} 105^2+208^2 = 54289 \\ 233^2=54289 \end{matrix}

2) Otro ejemplo, con números algo más grandes. Tomamos los números (10946, 17711, 28657, 46368). Entonces

\begin{matrix} a=10946 \cdot 46368=507544128 \\ b=2 \cdot 17711 \cdot 28675 = 1015088254 \\ c=10946 \cdot 28657+17711 \cdot 46368=1134903170 \end{matrix}

y

\begin{matrix} 507544128^2+1015088254^2=1288005205276048900 \\ 1134903170^2=1288005205276048900 \end{matrix}


En realidad esta propiedad no es exclusiva de la sucesión de Fibonacci, sino, como se puede intuir, de cualquier sucesión que se construya como la propia sucesión de Fibonacci. Hasta existen generalizaciones para sucesiones cuyos términos se van obteniendo de los dos primeros con la expresión t_{n+2}=at_n+bt_{n+1}. Podéis ver estos y alguna cosa más en The Pythagonacci Family Reunion, de Dan Kalman (sí, el del teorema más maravilloso de las matemáticas) y Robert Mena, que es el artículo donde vi lo que os he contado hoy.


En Gaussianos ya hemos hablado de estos dos objetos matemáticos:


Cuarta aportación de Gaussianos a la Edición 3.14159265 del Carnaval de Matemáticas, que organizan en pimedios.

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28 comentarios

  1. Trackback | 22 nov, 2012

    Bitacoras.com

  2. Ricardo | 22 de noviembre de 2012 | 21:32

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    Pero como construir un cuadrado con dos números no cuadrados ?… Es decir dado un número X, calcular cuantos numeros impares consecutivos no necesariamente a partir del primero, es decir 1, hay que sumarle para cuadrarlo ?.

    Por ejemplo para x=5, si le sumamos y= 21+23 nos da 49 =Z , que es un cuadrado perfecto.

    Otro ejemplo pero este con x no cuadrado perfecto e Y si y Z también: x=95 y= 1+3+5+7+9+11+13 =49=7^2, entonces z= 144

  3. JJGJJG | 22 de noviembre de 2012 | 23:10

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    Ricardo, no entiendo tu propuesta. Cualquier número se diferencia de cualquier cuadrado de distinta paridad mayor que él en un único impar.
    Ejemplos: Al 3 le podemos sumar 1 para obtener 4 o le sumamos 13 para obtener 16, o le sumamos 33 para obtener 36, etc, al 8 le sumamos 1 para obtener 9, 0 17 para obtener 25, y así sucesivamente.
    También partiendo de un cuadrado cualquiera como el 9: sumando 7 obtenemos 16, sumando 17 obtenemos 36, etc.

  4. GOB | 23 de noviembre de 2012 | 00:49

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    Yo he entendido esto del comentario de Ricardo:

    \forall x \in \mathbb{N} \exists y = \sum_{i=0}^N (2k+1)+ 2i = N(2k+1) + N(N+1) = N^2 + 2N(k+1) y además \exists z \in \mathbb{N} tal que se cumple x + y = z^2

  5. GOB | 23 de noviembre de 2012 | 01:01

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    Y lo que dice JJGJJG es que basta N = 1 para cualquier x. La verdad es que tampoco entiendo muy bien la propuesta.

  6. Ricardo | 23 de noviembre de 2012 | 01:01

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    Exacto Gob.

    Pero como resolver esto sin “iterar”. Es increíblemente difícil. No encuentro la solución.

  7. Ricardo | 23 de noviembre de 2012 | 01:05

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    Lo que dice JJBJJB es obvio, pero yo restrinjo la suma a sumar sólo impares consecutivos desde cualquier número impar, no necesariamente desde el primero, el uno.

    Es decir: cuantos impares consecutivos hay que sumarle a un número para hacerlo cuadrado perfecto ?. A priori y son iterar no encuentro la solución.

  8. Ricardo | 23 de noviembre de 2012 | 01:23

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    En el comentario anterior he olvidado decir que no sabemos cual es el cuadrado perfecto al que vamos a llegar añadiendo impares, sino es obvio, sólo habría que despejar. Si a un número le empezamos a añadir impares consecutivos en algún momento esa suma se convertirá en cuadrado perfecto. Como saber a priori precisamente eso ?, cuantos impares habrá que añadir para cuadrar ese número.?

  9. Ricardo | 23 de noviembre de 2012 | 01:23

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    En el comentario anterior he olvidado decir que no sabemos cual es el cuadrado perfecto al que vamos a llegar añadiendo impares, sino es obvio, sólo habría que despejar. Si a un número le empezamos a añadir impares consecutivos en algún momento esa suma se convertirá en cuadrado perfecto. Como saber a priori precisamente eso ?, cuantos impares habrá que añadir para cuadrar ese número.?

    Muchas gracias por vuestra atención

  10. JJGJJG | 23 de noviembre de 2012 | 03:54

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    Ricardo, creo que, al fin, he entendido tu problema y, si es así, tengo la solución.
    El problema es: elegimos el número entero m y un impar cualquiera 2n+1. Se trata de sumar a m impares sucesivos desde 2n+1 hasta 2×-1 (obviamente x>n) de modo que obtengamos una suma cuadrado perfecto.
    Solución:
    La suma de todos los impares desde 1 hasta 2k-1 es precisamente k^2.
    Por lo tanto nuestra expresión m+2n+1+2n+3+…+2×-1 vale m+x^2-n^2.
    Llamemos y^2 al resultado de la suma. Tendremos m+x^2-n^2=y^2 o, lo que es lo mismo x^2-y^2=n^2-m.
    Podemos escribirlo así: (x+y).(x-y)=a.b (siempre podremos elegir (n^2-m).1)
    Haciendo ahora x+y=a, x-y=b (con a>b) tendremos: x=(a+b)/2, y=(a-b)/2.
    Pongamos un ejemplo: m=4 n=5 n^2-m=21 x+y=21 x-y=1 x=11 y=10
    Comprobación: 4+11+13+15+17+19+21=100=10^2
    Otro ejemplo: m=6 n=9 n^2-m=75 x+y=75 x-y=1 x=38 y = 37
    Comprobación: 6+19+21+23+25+27+29+31+33+35+37+39+41+43+45+47+49+51+53+55+57+59+61+63+65+67+69+71+73+75=1369=37^2.
    Naturalmente, otra descomposición en dos factores del número n^2-m puede servir. En el caso de m=6 n=9 podríamos elegir esta otra solución:
    n^2-m=75=25.3 x+y=25 x-y=3 x=14 y=11
    Comprobación: 6+19+21+23+25+27=121=11^2
    Hay que señalar que no todos los casos tienen solución ya que el sistema
    n^2-m=a.b x+y =a x-y=b no tiene por qué tener siempre soluciones enteras.
    Ejemplo: m=6 n=8 n^2-m=58=58.1=29.2
    Al ser los posibles factores de n^2-m de distinta paridad x e y no pueden ser enteros.
    ¿Te sirve como solución?

  11. Ricardo | 23 de noviembre de 2012 | 11:17

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    Estimado JJGJJG,

    Lo primero es darte las gracias por tu pronta, cordial y eficaz respuesta.

    Me ha parecido muy interesante tu explicacion, pero tengo una duda. De donde obtienes (n) a priori, si solo sabemos (m).

    Como seria tu método por ejemplo para m=95 ?, y para m=5 ?

    Otra cuestión y si me permites darle ha este asunto una vuelta de turca más:

    Partendo de un (m) cualquiera y restringiendo sumar a ese (m), impares desde un impar en concreto (I), como lo hariamos ?. Por ejemplo si yo te digo que dado el m=5 y el impar 21, cuantos impares más consecutivos a nuestro 21 he de sumar a nuestro 5 para cuadrarlo sin saber como siempre cual va a ser el primer cuadrado perfecto que me voy a encontrar ?

    Muchisimas gracias, tu explicacion me esta sirviendo de mucha ayuda.

  12. JJGJJG | 23 de noviembre de 2012 | 15:31

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    Aclaremos, Ricardo. Cada m que elijamos se podrá cuadrar, en general, partiendo desde muchos impares distintos, por lo tanto elegimos cualquiera y, aplicando mi fórmula, encontramos sus posibles soluciones, si las hay para ese impar concreto.
    Elijo, como propones m=95, y voy a tratar de cuadrarlo empezando con el 5.
    Como 2n+1=5, n=2. La fórmula de la suma dice que m+x^2-n^2=y^2, luego escribo 95+x^2-4=y^2, o sea, y^2-x^2=91=91*1=13*7.
    Con 91*1 tendremos y+x=91 y-x=1 luego x=45 e y=46 luego 95+5+7+9+11+13+15+17+19+21+23+25+27+29+31+33+35+37+39+41+43+45+47+49+51+53+55+57+59+61+63+65+67+69+71+73+75+77+79+81+83+85+87+89=2116=46^2
    Como ves, calculados x e y sabes el número total de impares consecutivos a poner en la suma que son x-n, el valor del último que es 2×-1 y el resultado de la suma que es y^2.
    Fíjate en que, dependiendo del signo de n^2-m, Puedes tener en el otro miembro x^2-y^2 o y^2-x^2 con lo que x puede ser mayor o menor que y.
    Probemos ahora m=95, n=5 y y^2-x^2=13*7. y+x=13 y-x=7 y=10 x=3
    Ahora nos sale x-n=1 (hay que poner un solo impar) el último impar es precisamente 2×-1=5 y la suma es y^2=10^2, por tanto, la solución es 95+5=100=10^2.
    Veamos tu otro ejemplo: m=5, 2n+1=21, de donde n=10. Al escribir, como siempre la fórmula m-n^2+x^2=y^2 tenemos 5-10^2+x^2=y^2, o lo que es lo mismo x^2-y^2=95=95*1=19*5.
    Para la primera descomposición x+y=95 x-y=1 x=48 y = 47. El número de impares será x-n=48-10=38, el último impar será 2×-1=95 y la suma será y^2=47^2.
    Veámoslo: 5+21+23+25+27+29+31+33+35+37+395+21+23+25+27+29+31+33+35+37+39+41+43+45+47+49+51+53+55+57+59+61+63+65+67+69+71+73+75+77+79+81+83+85+87+91+93+95=2209=47^2.
    Y para la segunda descomposición: m=5, n=10, x^2-y^2=19*5 x+y=19, x-y=5, x=12, y=7, el número de primos es x-n=2, el último primo es 2×-1=23 y la suma será y^2=7^2. Comprobamos: 5+21+23=49=7^2

  13. Ricardo | 23 de noviembre de 2012 | 16:37

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    Fantástico !!!!.

    Ha sido extraordinaria tu explicación y realmente eficaz. De nuevo muchísimas gracias. He aprendido mucho con todo lo que me has explicado.

    De todas formas nos estamos basando en que conocemos o podemos calcular los factores de m y eso no es trivial en todos los casos. Sino conocemos los factores de m y no podemos calcularlos no podemos hacerlo tal y como planteas.

    Dado por ejemplo un número no primo con sólo dos factores no triviales, quiero decir dos mas aparte del 1 y el propio m, como por ejemplo el 95 que tiene como factores no triviales solo el 5 y el 19. El primer factor, el mas pequeño, indicaría el número de impares a sumar (5 impares) y el segundo factor sería el impar intermedio del grupo de impares que estamos sumado (19). Es decir: 15 + 17 + 19 + 21 + 23 = 95= 5*19. O lo que es lo mismo la longitud anterior en impares contenida en 95, te da los factores. También podemos decir que 95+1+3+5+7+9+11+13=144=12^2, así pues 7 impares que hemos sumado al 95, mas 12 que es el cuadrado perfecto anterior obtenido por haberlo cuadrado es igual a 19 que es uno de los factores de 95, y a al revés 12-7=5 que es el otro factor. También podemos deducir que la diferencia desde nuestro 95 al primer cuadrado perfecto que nos encontramos es decir el 10^2=100, si lo cuadramos también nos permite hayan los factores de 95. Es decir: 100-95=5 esto implica que 5+21+23=7^2 por lo que a 95 tenemos que sumarle 7 impares para cuadrarlo desde el impar uno (1) como antes hemos visto.

    De todas formas creo que si no tenemos la factorízacion no tenemos forma de hacerlo como tu o yo ahora hemos comentado, no crees ?.

    Lo suyo sería cuadrar sumando impares sin saber los factores.

    Otra forma fácil pero conociendo los factores también es que como sabemos que el factor pequeño indica el número de impares totales contenidos en el número pues procedemos así para averiguarlos:

    Sabemos que serán 5 para 95 así que

    (X+1)+(x+3)+(x+5)+(x+7)+(x+9)=95; despejando la x, te sale que x=14. Por lo que el primer impar de nuestra suma será 15.

    Que opinas ?…

    Muchísimas gracias…

  14. JJGJJG | 23 de noviembre de 2012 | 19:31

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    Partamos de la base de que un número o es primo o es compuesto. Si es primo equivale al producto de 1 por él mismo, luego conocemos las valores apropiados para resolver el problema. Si es compuesto SIEMPRE podemos factorizarlo, si no, no sabríamos que es compuesto. Por lo tanto siempre podremos utilizar mi algoritmo para resolver.
    Te propongo un caso nuevo: m=4 y 2n+1=19, es decir n=9. Tendremos, entonces n^2-m=9^2-4=77=77*1=11*7.
    Para x^2-y^2=77*1 tenemos x=39, y=38, número de impares x-n=30, último impar 2×-1=79, suma total y^2=38^2. Comprobando: 4+19+21+23+25+27+29+31+33+35+37+39+41+43+45+47+49+51+53+55+57+59+61+63+65+67+69+71+73+75+77+79=1444=38^2.
    En el otro caso x^2-y=2=11*7, x=9, y=2, número de impares x-n=0, último impar 2×-1=17(justo el anterior al 19 que es el que habíamos elegido como inicial) suma total y^2=2^2. La serie de impares a sumar es de 0 elementos. Comprobamos 4=4=2^2. Como el número era un cuadrado no hacía falta sumar ningún impar para cuadrarlo.
    Como ves mi algoritmo sigue funcionando pero el método que empleas con el 95 aquí no funcionaría.

  15. JJGJJG | 23 de noviembre de 2012 | 19:36

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    Ha salido un error al enviarlo. En la comprobación del caso 77*1 hay que continuar la serie de impares harta el 79 y la suma da 1444=38^2

  16. Ricardo | 23 de noviembre de 2012 | 21:52

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    Estoy de acuerdo contigo sobre que siempre podemos factorízar. Pero si te das cuenta este sistema podría servirnos precisamente para factorízar si encontramos el método de hacerlo sinlos factores claro esta.

    No se sí te das cuenta que la suma de los impares para cuadrar un número permite obtener los factores. Esto creo que podría ser una alternativa a la factorízacion tradicional y para números difíciles de factorízar podría suponer un cambio.

    Gracias a ti me he dado cuenta de la importancia de esto, hasta ahora no había caído en la cuenta.

    Si encontramos un método para saber cuantos impares hay que sumarle a un número para cuadrarlo sin depender de sus factores, tendremos sus factores.

  17. JJGJJG | 24 de noviembre de 2012 | 03:46

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    No acabo de entender tu razonamiento.
    Dices:”Si encontramos un método para saber cuantos impares hay que sumarle a un número para cuadrarlo sin depender de sus factores, tendremos sus factores”.
    No entiendo cómo. Elegido un número tengo dos opciones: empezar a sumar impares desde el 1 o empezar por otro impar cualquiera. Si empiezo por el 1 me puedo llevar la sorpresa de que no acabe nunca. Sin ir más lejos, si al número 26 le empiezas a sumar impares desde el 1, no llegarás jamás a un cuadrado, aunque sumes infinitos impares consecutivos. Ahora me surge un nuevo problema: ¿qué impar elijo para empezar? ¿el 3? ¿el 17? ¿el 17489753? Te acompaño los primeros resultados de entre los infinitos impares que tenemos para empezar a sumar al 26.
    26+3+…+23=13^2 hemos sumado 11 impares.
    26+7+…+15=9^2 hemos sumado 5 impares.
    26+15+…+23=11^2 hemos sumado 5 impares.
    26+19+…+55=27^2 hemos sumado 19 impares.
    26+27+…+143=71^2 hemos sumado 59 impares.
    26+31+…+199=99^2 hemos sumado 85 impares.

    Si empiezo con 5, 9, 11, 13, 17, 21, 25 o 29 nunca llegaré a un cuadrado.
    (Se puede probar, pero haría más largo el artículo. Tiene que ver con la paridad de los factores primos del repetido valor n^2-m)

    ¿En qué ayuda esto para descomponer 26 en factores primos?

  18. Ricardo | 24 de noviembre de 2012 | 12:40

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    Lo primero es reiterar mis gracias por tus aportaciones. Gracias de verdad.

    Lo segundo es comentarte un poco la idea, aunque evidentemente no esta madura.

    Factorízar un número par como el 26 que has comentado, carece de sentido por que ningún par entraña dificultad en sacar sus factores. Además los pares no estarían organizados así como muy bien has señalado.

    Pero con los impares si encontraríamos siempre una secuencia de impares que los cuadra.

    Volvamos al caso del 95 por ejemplo: sus factores son 1, 5, 19, 95. Sin contar los triviales sólo tiene dos. Así ocurre con muchos impares, como por ejemplo los números compuestos de la serie de Fermat.

    Hallar estos factores primos en este tipo de números no es sencillo.

    Si tomamos nuestro 95, podemos cuadrarlo de dos formas no triviales:

    95 + 1+3+5+7+9+11+13= 144

    Sabiendo esto podemos deducir sus factores:

    144=12^2. Como tenemos que hemos tenido que sumar 7 impares, osea 49 numeros a 95 (7^2) para cuadrarlo, restando y sumando encontramos los dos factores: 7+12=19; 12-7=5.

    También podemos encontrar los factores si lo cuadramos desde otro impar. Que impar como antes preguntabas ?. Pues parece que a partir del que marca su simetría es decir su raiz cuadrada: 95^1/2 que es aproximadamente 9,7…, esto quiere decir a partir del décimo impar, que es el 21.

    De todas formas desde ahí habría que ir probando para encontrar la longitud adecuada que nos da 95 y no sería muy eficaz ya que deberiamos ir iterando, es decir probando:

    21+19+17+19+17
    o
    23+21+19+17+15
    Y así hasta encontrar la secuencia que resulté ser igual a 95.

    En nuestro caso es la segunda. Como hemos utilizado 5 impares, esto significa que uno de sus dos factores es 5 y el otro sería el impar en medio es decir 19.

    Podríamos afinar para no iterar un origen desde el que empezar a sumar y averiguar el impar primero por el que debemos empezar si utilizamos la diferencia que hay entre nuestro 95 y el cuadrado perfecto más próximo, es decir 10^2=100. Esto lo calculamos haciendo la raíz a 95, así sabremos que el próximo es el 10^2, ya que la raíz es 9,7…. Antes de explicarte como hacerlo así, señalarte que visto lo visto, la raíz de cualquier número indica el números de impares sumados que hay contenidos en ese número. En nuestro caso 95, su raiz 9,7… quiere decir que hay desde el 1, nueve impares ,más 0,7… del décimo impar. En todos los cuadrados perfectos el número de impares es exacto. Por ejemplo 100, su raíz 10, significa que desde el 1 tenemos que sumar exactamente 10 impares.

    Volviendo al método de la diferencia al primer cuadrado más cercano, procederíamos así:

    100-95= 5

    Cuantos impares hay que sumarle a 5 para cuadrarlo, comenzando desde el impar 21, que es el siguiente a la raíz de 95 ?….

    Pues hacemos tu algoritmo y resulta que: 5+21+23=49=7^2, con lo que a 95 tendremos que sumarle 7 impares desde el 1 para cuadrarlo. Se los sumamos nos da 144 (12^2) y procedemos como al principio 12+7=19;12-7=5.

    De todas formas esto es un razonamiento lógico, pero no lo tengo aún muy maduro.

    Las conclusiones más importantes es que sí descubrimos la forma de calcular sin utilizar los factores el número de impares a sumar desde el 1, a un número impar cualquiera (m), sabremos los factores. O lo que es lo mismo, el conjunto de impares contenidos en un impar (m), es uno de sus factores.

    95= 23+21+19+17+15, es decir 5 impares por el impar intermedio el 19.

    Averiguar esto podría ser un método alternativo para la factorízacion.

    Muchas gracias por tu ayuda y atención.

  19. JJGJJG | 24 de noviembre de 2012 | 13:51

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    Creo que ya le hemos dado bastantes vueltas al asunto y voy a tratar de zanjar la cuestión. Queda demostrado que, si un número de puede cuadrar, resulta fácil hacerlo si conocemos sus factores primos.
    Si no los conocemos, el cuadrarlo sumando impares podría ayudar a obtener sus factores. Creo sinceramente que sería matar pulgas a cañonazos y además poco rentable ya que tenemos mecanismos eficaces de factorización y, como decía Ortega y Gasset “el esfuerzo estéril conduce a la melancolía”.
    Te lo ilustraré con un ejemplo: Un programa descompone en factores el número 30414093201713378043612608166064768844377641568960512000000000053 (largo ¿verdad?) exactamente en TRES SEGUNDOS dando como factores
    372409630447, 4761854678852528105634053, y 17150541300100920303733306783.
    Imagínate tomar un número de 65 dígitos y empezar a sumarle impares comprobando cada vez si la suma es un cuadrado perfecto. Creo que ni con el mejor programa ni con el ordenador más rápido del mundo lo lograrías en un tiempo asequible.

  20. Ricardo | 24 de noviembre de 2012 | 14:28

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    Ja, ja, ja…

    A mi ningún tipo de esfuerzo me produce melancolía. El esfuerzo es siempre satisfacción. Nunca se sabe a priori si un esfuerzo es estéril hasta que esforzándose se descubre. Explorar caminos siempre te ayuda a aprender y a encontrar nuevos caminos, como el que he encontrado estos días.

    De todas formas muchísimas gracias por “tu esfuerzo estéril”, desde luego a mi no me lo ha parecido. A mi me ha servido de mucho y he aprendido muchas cosas.

    El que haya métodos para factorízar no implica que se investigue otro. Eso es conformarse y yo nunca me conformo con la ciencia. Los distintos métodos de factorízacion son producto de inconformistas y su afán en desentrañar la naturaleza, en este caso de los números. Gracias a sus esfuerzos tenemos lo que hasta ahora mismo conocemos, muchas veces llegando a callejones sin salida y volviendo a empezar sin rendirse por muy estériles que hayan sido sus resultados.

    Evidentemente, es obvio y no se trata de sumar impares machacando la cpu de un ordenador, se trata de averiguar como cuadrar un número analíticamente, que es el origen de este dialogo. Esto es pura teoría de números y hasta el momento por lo visto, un misterio.

    Saber cuadrar un número te da la llave para factorizarlo. Encontrar el como es el premio y lo motivante.

    Los impares son unidades que cambian de tamaño y en ello radica la complejidad de este asunto. Pero encontrar cuantas unidades de impares existen en una cantidad concreta, te permite obtener sus factores primos. Ahí es nada !.

    Gracias a ti me he dado cuenta de este asunto y desde luego me merece la pena seguir esforzándome.

    Quiero reiterarte mis más sinceras gracias por tu tiempo y esfuerzo.

    Ha sido un placer estar estos días trabajando en esto contigo.

    Un fuerte abrazo y muchísimas gracias.

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  26. Miguel Ferrer | 6 de febrero de 2013 | 20:58

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    Soy un Ingeniero de 70 años, muy orgulloso de la actitud de los matemáticos en la búsqueda y cálculo de la verdad… pues siempre aparecen la humildad, la gratitud, el asombro y el respeto por la naturaleza, la magia, y la verdadera esencia del ser humano que no está en su Ego que defiende lo indefendible con la porfía y la soberbia…
    Este diálogo entre estos dos matemáticos me da una vez más una muestra de lo anterior.
    Aquí no hay una competencia por tener la verdad (como podría ser entre abogados en un juicio por ejemplo)… No, aquí hay un espíritu de aprendizaje… que se ve en la gratitud de uno de ellos y en la paciencia y constancia de ambos… es claro que a medida que avanza el diálogo se va construyendo una amistad entre ambos… eso ha ocurrido siempre en la historia de las matemáticas.
    Felicitaciones a ambos!!
    Miguel Ferrer

  27. Romeo | 6 de febrero de 2013 | 21:50

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    Bueno Miguel, no siempre ocurrió así en Matemáticas. Te lo podrían decir Tartaglia a quien Cardano le robo su resolución de las ecuaciones cúbicas. También Leibniz quien sufrió una gran humillación de su ídolo Isaac Newton. Etc.
    En matemáticas como en otras disciplinas siempre ha habido, hay y habrá gente codiciosa. Sólo que en matemáticas las codicia pasa por ponerle tu nombre a un teorema por ejemplo.

  28. LIAM GALLAGHER | 19 de mayo de 2013 | 12:00

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    i don’t think that’s interesting because we don’t understand anything of that…but it’s actually curious…that’s all…thanks

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