Una manera de realizar un sorteo justo con una moneda trucada

Cuando queremos realizar un sorteo para elegir una persona, un sitio o una película de entre dos opciones posibles es típico hacerlo mediante pares o nones o mediante el lanzamiento de una moneda. El primero de ellos es un método de sorteo justo si consideramos que cada jugador saca una cantidad de dedos al azar (aunque en esas condiciones en Los Simpson deja de ser justo), y el segundo también lo es si asumimos que la moneda que utilizamos no está trucada. Ahora, ¿qué ocurre si sabemos que la moneda que vamos a usar está trucada?. Pues también podemos realizar un sorteo justo con ella. Vamos a ver cómo hacerlo.

Supongamos que tenemos una moneda que sabemos que está trucada, por lo que una de las opciones (cara o cruz) tiene mayor probabilidad de salir que la otra (consideramos también que la probabilidad de que caiga de canto es 0). Digamos que la probabilidad de que salga cara es p y que, por tanto, la probabilidad de que salga cruz es 1-p. Evidentemente, si p es mayor que 1-p en un sorteo “habitual” quien eligiera cara tendría ventaja, y lo mismo para el que escogiera cruz si fuera al contrario. Pues lo que vamos a hacer es dar una manera de hacer este sorteo de forma que ninguno de los dos jugadores tenga ventaja usando esta moneda.

Antes de describir esta forma de realizar el sorteo, es interesante comentar que sucesivas tiradas de una moneda son sucesos independientes, lo que quiere decir que el hecho de obtener un resultado en una de las tiradas no influye en el resultado de las siguientes tiradas (vamos, que la moneda “no recuerda” lo que salió en tiradas anteriores). Por ello, si tiramos dos veces la moneda, y según las leyes de la probabilidad, se tiene que la probabilidad de obtener dos sucesos cualesquiera (dos caras, cara y cruz, cruz y cara o dos cruces) es el producto de las probabilidades de obtener cada uno de ellos por separado.

Ésa es la clave de nuestro sorteo, que vamos a describir a continuación, y cuya creación se le atribuye al gran matemático húngaro John von Neumann. Tomamos la moneda trucada y la lanzamos dos veces. Si llamamos A a uno de los jugadores y B al otro:

  1. Si obtenemos dos caras o dos cruces volvemos a tirar la moneda otras dos veces (vamos, como si en un sorteo “habitual” la moneda cae de canto).
  2. Si sale cara en la primera tirada y cruz en la segunda gana el jugador A.
  3. Si sale cruz en la primera tirada y cara en la segunda gana el jugador B.

Vamos a comprobar que, efectivamente, el sorteo es justo. La probabilidad de que salga cara-cara es

P(CC)=p \cdot p=p^2

y la de cruz cruz es

P(XX)=(1-p) \cdot (1-p)=(1-p)^2

Al ser distintas las desechamos. Ahora, la probabilidad de cara-cruz es

P(CX)=p \cdot (1-p)

y la de cruz-cara es

P(XC)=(1-p) \cdot p

que claramente son iguales. Por tanto, con esta manera de realizar el sorteo obtenemos, efectivamente, un sorteo justo, ya que los dos jugadores tienen la misma probabilidad de ganar (aunque la moneda esté trucada). De hecho, puede ser interesante utilizar esta forma de sortear en todos los casos, ya que en principio no tenemos por qué estar seguros de que la moneda que vamos a usar no esté trucada. No me refiero a que nos quieran engañar, que también, pero podría ser que estuviera trucada “accidentalmente” (por un golpe, o por el mismo relieve de la cara y la cruz). Ahora, lo que puede ser más complicado es convencer a nuestro oponente de que el sorteo que le proponemos es, posiblemente, más justo que el típico “¿cara o cruz?”. Probadlo, a ver qué cara pone el contrario.


La imagen de las monedas la he tomado de aquí.


Esta entrada participa en la “Edición 5.6: Paul Erdős” del Carnaval de Matemáticas (15-21 septiembre 2014) del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es David Orden desde su blog Cifras y Teclas.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

18 Comentarios

  1. Un método interesante. Sin embargo, hay una solución más sencilla que sería satisfactoria siempre que no se dé la circunstancia de que ambos jugadores conocen cuál de las opciones, la cara o la cruz, es más probable. En efecto, aunque hagamos el sorteo con una moneda trucada, basta con que uno de los jugadores desconozca cuál es el resultado más probable. En ese caso, para efectuar un sorteo justo, deberá ser este jugador, el “ignorante” (o el “desinformado”), el que elija a qué quiere apostar. Si asumimos que la probabilidad de que éste elija cara o cruz es de frac{1}{2}, vemos que la probabilidad que tiene de ganar el sorteo, aun con una moneda asimétrica, es de frac{1}{2}. Como la elección de a qué cara de la moneda jugar es un suceso independiente del lanzamiento de la moneda, la probabilidad combinada de “elección de cara” y “lanzamiento” será el producto de ambas.

    El jugador “desinformado” gana el sorteo: si elige cara, con una probabilidad de frac{1}{2}, y el lanzamiento sale cara, con una probabilidad p; o bien si elige cruz, con una probabilidad de frac{1}{2}, y el lanzamiento sale cruz, con una probabilidad (1-p). Sumando ambas contribuciones, tenemos que la probabilidad de que el jugador “desinformado” gane es de:

    P_{ganar} = frac{1}{2}p + frac{1}{2}(1-p) = frac{1}{2} (p+1-p) = frac{1}{2}

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  2. Lamento lo ocurrido en el mensaje anterior. Fui a editar un par de comas y se me borraron todos los slash \ del código latex, y no sé cómo volver a editarlo.
    Reescribo la última fórmula:

    P_{ganar} = \frac{1}{2} p + \frac{1}{2} (1-p) = \frac{1}{2} (p+1-p) = \frac{1}{2}

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  3. El método que comenta Marcos es equivalente a tirar la moneda a escondidas y que el “ignorante elija después”. En algunos sitios lo hacen así.

    Hace bastante que no posteo por aquí.Pero para editar y que funcionen las backslash del código latex, hay que duplicarlas.
    Por ejemplo, si escribes:
    \dot{a} mediante Dolarlatex \dot{a} dolar
    y querías escribir:
    \hat{a} mediante dolarlatex \hat{a} dolar
    Al editarlo necesitas añadir una backslash extra
    Dolarlatex \\hat{a} dolar

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  4. La idea que se expone en el último párrafo es claramente errónea. En el caso de que la moneda esté trucada “accidentalmente”, el método no aporta nada. Como bien se dice en alguno de los comentarios anteriores, no importa que la moneda esté trucada siempre que el que elija no lo sepa.

    De hecho, la probabilidad trata sobre lo que se sabe o no se sabe. Como también se dice en un comentario, otra forma posible de apostar es después de tirar la moneda, lo cual, para una tercera persona que hubiese visto el resultado, sería un hecho cierto. Pero no importa, siempre que las personas que apuestan no sepan qué ha salido.

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  5. Me parece haber entendido que si jugamos a doble resultado sin repetir dos caras ( muy probable) o dos cruces (poquísimas probabilidades), juguemos con las otras dos opciones cuyas probabilidades son iguales, es decir que uno quiera cara y cruz y el otro apueste a cruz y cara.
    Iba a usar La Ley de Murphy (la tostada cae por el lado de la mantequilla) pero no viene mucho al caso, me gustaría saber cuál es la media de veces que cae sobre esa cara de la moneda trucada o la tostada por el lado de la mantequilla.
    También depende de la superficie donde caiga, si cae sobre una superficie sólida (pista) o blanda (arena o campo de hierba).
    Me gusta su exposición.
    Saludos

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  6. Golvano, en el caso de las moneda trucada accidentalmente, el método sí aporta!
    Sin usar el metodo, uno de los dos tendrá injustamente menos probabilidades. Claro que tenemos un 50% de probabilidades de ser el jugador con ventaja y 50% de tener desventaja 🙂
    A una sola tirada no habrá diferencia. Pero con muchas tiradas, un tío listo podría sacar ventaja a uno torpe observando las tiradas anteriores. Con el método se anula esta posibilidad.

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  7. Yo creo que el proceso se podría optimizar cambiando las primera regla por la siguiente:
    1. Se lanza la moneda sucesivamente hasta que los 2 valores consecutivos sean diferentes.

    De este modo me parece que se mantiene la igual de probabilidades de ambos jugadores pero se podría reducir el número de tiradas necesarias.

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  8. ennsnet, si la cara A de la moneda es más probable que la cara B, será más probable que aparezca antes la pareja AB que la pareja BA con lo que sigue persistiendo la ventaja del que elija A.

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  9. Vamos a liarlo un poco. Y si tiramos la moneda, y debemos adivinar si la cruz cae en una tirada par o en tirada impar. Es decir que en la tirada 8 cae la cruz, gana quien apostó a par y si cae en 13, gana el que apostó en impar.

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  10. @Cartesiano

    Si es un tío listo, ya no es accidentalmente. Yo estoy de acuerdo en que el método es útil para que el jugador que elige no pueda engañar al otro, pero en el último párrafo parece decirse que sirve para algo más.

    @ensnnet

    Tu método es equivalente a tirar la moneda una sola vez.

    @Kike77

    Siempre es más fácil que, cualquier cosa, salga primero en una tirada impar, porque las tiradas impares van antes de las pares.

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  11. Tienes razón JJGJJG, estaba equivocado con mi planteamiento. La primera tirada condicionaría el resultado y por lo tanto la ventaja sería para la opción más probable.

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  12. Gracias por comentar golvano. Pudiera tener más probabilidades si la moneda no estuviese trucada, pero al estar trucada por la cara, lo de que salga a la primera cruz, es decir 1 que es impar es muy poco probable. Después la probabilidad es prácticamente la misma.
    Un cordial saludo.

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  13. Siempre es más probable que salga en la primera tirada que en la segunda, en la tercera que en la cuarta, y así, aunque obviamente, cuanto más trucada esté la moneda, menos diferencia habrá.

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  14. ensnnet

    Se lanza la moneda dos veces, si sale un cambio XC gana A, si sale CX gana B.
    Si el resultado se repite (CC o XX) se vuelve a empezar.
    Es práctico pero no tiene validez en cuanto a solución (podría repetirse infinitamente, aunque en la práctica no suele ocurrir (ja ja))

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  15. Si sale CX gana A
    Si sale XC gana B
    Si sale CC o XX se lo queda Hacienda
    Creo que es lo que mas se aproxima a la realidad. 🙂

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