Una paradoja geométrica…¿o no?

Esta tarde os traigo una curiosa imagen relacionada con triángulos que propuse en Twitter hace bien poco. La cuestión es la siguiente:

Dividimos un triángulo en 6 piezas como en la figura de la izquierda. Después tomamos las piezas y las reordenamos como en la figura de la derecha…y aparecen dos cuadrados sin rellenar en la parte central del triángulo. Es decir, reordenando las piezas obtenemos que la figura resultante es más pequeña que la primera…

Paradoja Geométrica

¿Proviene esto de alguna paradoja geométrica? A ver si alguien nos echa una mano a resolver este curioso hecho que publicaban hace unos días en Futility Closet.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

21 Comentarios

  1. La figura, en realidad, no es un triángulo aunque lo parece.
    La hipotenusa de los triángulos verdes y la de los azules no llevan la misma dirección y por tanto no están en línea recta.
    Por eso al reordenar las piezas, la figura resultante es diferente de la primera y tiene dos cuadrados más de área.

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  2. Ninguna de las dos figuras es un triángulo: la primera tiene los lados largos algo cóncavos, y la segunda algo convexos. La diferencia de áreas justifica el hueco que queda.

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  3. Lo dicho por los otros dos comentaristas complementado con la constatación de que se emplea muy adecuadamente el teorema del punto gordo (si se presenta como paradójica la figura es gracias a que se invoca implícitamente este conocido teorema).

    Muy en serio digo que este problema tendría que estar con la etiqueta de “humor”.

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  4. Yo tenía un problema parecido a este en mi libro de bachillerato. Me ha conmovido que me acordase de la solución de aquel, que salía adelante usando las razones trigonómetricas calculadas a partir las longitudes de los lados, divertido para la época. Tampoco me parece mal que aparezca aquí, para desengrasar un poco XXD.

    Tal vez no estaría mal que publicaseis más problemas divulgativos y sencillotes de estos, quizás se animaseis a leeros gente más amateur, matemáticamente hablando. Tal vez una sucursal de vuestro blog , podría ser un Gaussianos Jr, ¿Gardnerianos?

    Un saludo

    G

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  5. El triángulo grande parece tener un área de 60 cuadrados
    Que se desglosan de la siguiente manera:
    -28 amarillos
    -10 azules
    -21 verdes
    en el de la derecha, además, 2 blancos

    Vaya, no encaja.
    Se me ocurren varias posibilidades
    1- Euclides se lió con las fórmulas, lo de base * altura /2 es mentira
    2- Peano se lió, la suma no es una función determinista
    3- No son realmente triángulos

    Ya sé que el principio de autoridad no es demasiado válido, pero me resisto a llevarles la contraria a Euclides y a Peano, así que, como hipótesis de trabajo, me plantearé que la opción correcta es la 3.

    Veamos la pendiente del triángulo

    El triángulo gordo parece tener 12/10 = 6/5 de pendiente

    Los triángulos verdes tienen una pendiente de 7/3
    Los triángulos azules tienen una pendiente de 5/2

    No encaja ni una, es decir las aparentes líneas rectas de los triángulos gordos están compuestas por dos tramos de pendiente distinta.

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  6. ¿Podría alguien explicarlo de forma clara? He usado regla en la pantall y por lo que yo veo se trata de dos triángulos exactos, por lo que las distintos polígonos que los componen han de ser diferentes los del primero de los del segundo. ¿Es ésto último lo correcto?

    Gracias!

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  7. La clave está en lo que dice Nemo, si analizamos las pendientes vemos que estas figuras no son triángulos, porque las rectas que portan los lados de los triángulos verdes y azules no son las mismas. (ver imagen: http://lh4.ggpht.com/_TMzLB6XCrGo/TIaSbyZaA6I/AAAAAAAAAn8/0J2lO3ceJX8/paradoja_pentagonos.png)

    Bueno, es una ilusión óptica, que el cuadriculado tiende a encubrir. Pero también hay una cuestión de sentido común, porque se parte diciendo “Dividimos un triángulo en 6 piezas como en la figura de la izquierda”, de manera que uno asume razonablemente que la figuras son triángulos, cuando en realidad son pentágonos (con dos ángulos muy obtusos).

    Lo interesante de esto es el partir de la suposición de que es son dos triángulos, y del hecho que al reordenar las piezas, el área se debería mantener. Luego, el error es partir de una suposición falsa, y es muy potente mostrar cómo una simple presunción, a veces muy razonable o al menos automática, es el origen de la contradicción.

    Este tipo de problemas son muy ilustrativos de una parte clásica del pensamiento geométrico, que se suele creer está centrado en los dibujos y lo visual, pero en realidad pensar geométricamente consiste en pensar en lo que realmente se sabe respecto a lo que se ve.

    El broche de oro está en relacionar unos triángulos muy obtusos que se forman (por fuera en el primer pentágono y por dentro en el segundo), cuyas áreas justifican las dos unidades que se “faltantes” de la figura final. En la siguiente imagen ilustro esto (Geogebra ayuda muchísimo): http://lh5.ggpht.com/_TMzLB6XCrGo/TIaSDphYtYI/AAAAAAAAAn4/673xgddSM2A/paradoja_pentagonos_2.png

    En resumen, ambas las figuras tienen la misma área, producto que la segunda se obtiene al reordenar las piezas de la primera, pero no es el área que el cuadriculado induce.

    Gracias por proponer esta ilusión, porque es estructuralmente idéntica a otra que anda rondando por ahí, y creo que son excelentes ejemplos de actividades lúdicas que nos enseñan mucho sobre el valor de la geometría en el contexto escolar (qué tanto se ha perdido).

    Saludos desde Chile
    Rafael

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  8. Por sacarle punta a todo (aunque no influye en la solución) también hay que decir que las piezas amarillas de la figura la izquierda no son iguales a las de la derecha, son imágenes especulares.

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  9. Precioso:

    El segundo triángulo tiene 1/30 más de área (un 3%) y el ojo humano es incapaz de percibirlo.

    La diferencia de pendientes es de 0.02. Creo que el hecho de poner el rayote encima de las Ls amarillas influye en que no nos demos cuenta de que los triángulos “no encajan”.

    Coincido con Gordo con el tema de poner más problemas tipo Gardner para los más amateur.

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  10. @Ford Prefect,

    si como dice el enunciado se trata de piezas, se les puede dar la vuelta sin problemas, por tanto, sí son la misma pieza.

    Por sacarle punta… 😀

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  11. Además, no sólo se ha hecho trampa en el enunciado, sino que las imágenes tampoco son fieles (son falsas). De hecho, los triángulos se superponen perfectamente (ej. usando photoshop). Se ve fácilmente que las piezas están pegadas con argamasa (las líneas negras). Como bien ha dicho @Vayapordios, se ha hecho uso (abuso diría yo) del teorema del punto gordo.

    Aquí otra algo más fieles.
    http://jose-juan.computer-mind.com/jose-juan/img/gauss/triangulo_area_oculta.png

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  12. Estas falacias, (presentación, sutil y rebuscada, de una falsedad como verdad para, a continuación, fundamentar sobre esta seudoverdad otra serie de falsedades como verdades incuestionables), son muy propias de ciertos políticos de dudosa moralidad.
    Pretenden conducirnos a verdades erróneas mediante proposiciones que no cumplen con las reglas del silogismo, desconocidas para los profanos en lógica.
    De esta manera, una vez afirmada una incongruencia como verdad incuestionable, basan en ella todo un entramado de mentiras convenientes a sus inconfesables manejos.

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  13. ¿Nadie ha visto que las figuras amarillas en el segundo triangulo no son iguales a las del primero? Se trata de figuras simetricas

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  14. a ver…. se parte de la premisa que es un triangulo, eso no se pone en duda, por eso es una premisa. Se divide en seis partes como esta en la primera figura, todo correcto.
    El truco esta en que los triangulos azules de la izquierda no son iguales a los de la derecha, son un poco mas grandes los de la izquierda, concretamente si los de la derecha miden 2 cuadrados de base los de la izquierda mide 2,083333. Igual pasa con los verdes. Estas diferecias en las superficies sumadas nos da los dos cuadrados blancos que sobran. Es evidente que la suma de superficies, dividas como dividas el triangulo, tiene que dar lo mismo en todos los casos. Se ve bien si lo dibujais en tamaño grande o mejor en un progama de Cad como hice yo. Salud

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  15. A ver… @martiño, si no pones en duda las premisas, ¿porqué pones en duda la premisa “…Después tomamos las piezas y las reordenamos…” diciendo tú que “…los triangulos azules de la izquierda no son iguales a los de la derecha…”?

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  16. vale,… el tema es que ahi está el truco, o el engaño, llamale como quieras. Lo que esta claro, para que el jueguecito tenga sentido, es que en los dos dibujos se parte de un triangulo de las mismas dimensiones en los dos casos, se divide el primero en seis partes y con las mismas piezas “APARENTEMENTE” nos sobra superficie en el segundo dibujo…. IMPOSIBLE… la unica forma es que no son las mismas piezas, aunque lo parezcan…. Repito, que si lo dibujais se ve perfectamente.

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  17. Se le están dando demasiadas vueltas al problemilla.
    Para mí, Nemo, Rafael Miranda y Pere lo han explicado maravillosamente.
    Enhorabuena

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  18. Yo no veo ningún misticismo en la solución que proponen los compañeros. Está basada en realidades tangibles y demostrables por medios netemente matemáticos. QUE EL OJO HUMANO NO PUEDA DISCERNIR LA REALIDAD DEL PENTÁGONO QUE PROPONEN, NO QUIERE DECIR QUE TENGAMOS QUE NEGAR SU EXISTENCIA, SOBRE TODO PORQUE MATEMATICAMENTE SE DEMUESTRA.
    Un saludo.

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  19. si suponemos que el vertice del rectangulo (en ambos casos) esta contenido en la linea del triangulo mayor entonces los triangulos son congruentes lo cual implica que 7×2=5×3 es decir 14=15 lo cual no es cierto, por lo tanto el vertice del rectangulo (en ambos casos) no esta en la linea del triangulo mayor

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