Usando la regla y el compás

Vamos con el problema semanal. Esta vez va dedicado a construcciones con regla y compás y su enunciado es bien sencillo:

Demostrar que $\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}$ es construible con regla y compás.

Hay una manera muy simple e inesperada de resolverlo. A ver quién lo hace.

Como ayuda, por si os hiciera falta, os dejo el primer artículo sobre construcciones con regla y compás que escribí hace un tiempo. Y aprovecho la oportunidad para invitaros a que leáis el artículo que me envió fede sobre el teorema de Mohr-Mascheroni, o lo que es lo mismo, sobre la posibilidad de prescindir de la regla para estas construcciones.

10 comentarios

Carlos | 3 de August de 2010 | 09:46

$2cos(\frac{2\pi}{10})$ ?
Truco | 3 de August de 2010 | 11:37

Ni idea, pero diría que tiene que ver con nuestro aúreo camarada.
Mandanga | 3 de August de 2010 | 13:36

Desde luego, si buscas su polinomio mínimo es el mismo que el del número aureo y como ambos número son positivos, deben coincidir.

Luego ya, construir el número áureo con regla y compás está hecho.
Trackback | 3 Aug, 2010

Bitacoras.com
M | 3 de August de 2010 | 19:07

Mandanga, la igualdad que comentas se da directamente ya que $2+\sqrt{5}=\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^3$ . Por cierto, en base al comentario de Carlos, la relación del número áureo con el pentágono regular (es decir, con $cos(\pi/5)$ ) se discutió en los comentarios a http://gaussianos.com/construcciones-con-regla-y-compas-i-introduccion-y-primeras-construcciones/
Miguel | 5 de August de 2010 | 06:23

Cada vez que el título del post mencionó “regla y compás” apareció Rodolfo Nieves con que pi es construible con estas herramientas. Que no vuelva a aparecer más Rodolfo Nieves por el bien de la geometría!!

Saludos
mimetist | 7 de August de 2010 | 10:31

¡¡Pero es que PI sí se puede construir con regla y compás!!

El problema es que nosotros pensamos en la Geometría “Absoluta”… pero con su “Geometría Relativa” todo va como la seda y la construcción de PI es muy sencilla. xD

Además ya se ha demostrado por otros autores que ambas geometrías son equivalentes si suponemos cierto el bien conocido Teorema del Punto Gordo.

Volviendo al mundo real, ¿nadie se anima a resolver el problema del post?
^DiAmOnD^ | 7 de August de 2010 | 10:51

Hombre, mimetist, entre lo que ha dicho Mandanga y lo que ha comentado después M creo que ya está resuelto, ¿no? .
Vayapordios | 7 de August de 2010 | 18:57

“¿nadie se anima a resolver el problema del post?”

Dado un segmento que es la unidad más la suma de la diagonal de un rectángulo de lados 1 y 2, basta considerar el segmento que va de su punto medio a un extremo.

Seguro que dibujando un pentagrama esotérico regular sale más elegante, claro está.
Arowsky | 6 de October de 2010 | 16:14

Es genial la inventiva e inmaginacion de este problema….
muy bueno…
me tarde pero lo hice..