Utilizando la “Math Machine” en un examen

En ocasiones la originalidad puede salvarte en un examen, pero en otras se ve demasiado claro que pretende tapar que no te has estudiado (o deja bien a las claras que te estás pasando de listo), como ocurre en este caso con la Math Machine:

Vamos, o esta persona no sabe hacer el segundo apartado del ejercicio, por lo que utiliza la Math Machine (que me da que en realidad es la calculadora) para dar el resultado, o es un listillo/a que pretende vacilar al profesor (cómo me recuerda esta “Math Machine” a las demostraciones TAMO). Sea como sea, es razonable que el propio profesor, además de felicitarle por el dibujo (Nice Drawing!), le pregunta por qué el resultado es el que él indica (Why?). Vamos a responder nosotros.

El enunciado comienza de la siguiente forma:

Usa aproximación lineal para aproximar \sqrt[3]{64,2} como sigue:

El primer apartado dice lo siguiente:

a) Sea f(x)=\sqrt[3]{x}. Entonces la ecuación de la recta tangente a f(x) en x=64 puede ser escrita de la forma y=mx+b, donde

Y ahora pide calcular los valores de m y b. Eso es sencillo, y el chico lo hace bien. Como seguro que recordáis, m es la pendiente de dicha recta tangente, que en este caso se puede calcular calculando la derivada de f(x) y evaluándola en x=64. Queda entonces:

f^\prime (x)=\cfrac{1}{3 \; \sqrt[3]{x^2}} \rightarrow f^\prime (64)=\cfrac{1}{3 \; \sqrt[3]{64^2}}=\cfrac{1}{48}

Ahora podemos calcular b utilizando que en x=64 el valor de la función y el valor de y en la recta tangente es el mismo:

f(64)=m \cdot 64+b \rightarrow \sqrt[3]{64}=\cfrac{1}{48} \cdot 64+b \rightarrow 4=\cfrac{4}{3}+b \rightarrow b=\cfrac{8}{3}

Bien, ya tenemos la recta tangente a f(x) en x=64:

y=\cfrac{1}{48} \; x+\cfrac{8}{3}

Por ahora todo bien. Vamos al segundo apartado, que dice esto:

b) Usando esto (el apartado anterior) encuentra la aproximación de \sqrt[3]{64,2} con 4 decimales.

Y aquí es cuando el chico no sabe qué hacer o se hace el listo. Y uno no entiende muy bien por qué lo hace, ya que este apartado es sencillo. Básicamente se resuelve de la misma manera en la que se calculó el valor de b, utilizando que la recta tangente a f(x) en x=64 está “muy cerca” de la propia f(x) para valores muy cercanos a x=64 como es en este caso x=64,2. Por tanto lo que tenemos que hacer es sustituir x por 64,2 en la expresión de la recta tangente:

\sqrt[3]{64,2} \approx \cfrac{1}{48} \cdot 64,2 + \cfrac{8}{3}=4,0041 \overline{6} \approx 4,0042

Por tanto el resultado que da este estudiante es correcto, 4,0042, pero como no se sabe si lo consiguió como pedía el ejercicio no podemos determinar si sabe el procedimiento que hay que seguir para resolverlo o simplemente utilizó la calculadora para calcular directamente \sqrt[3]{64,2}, obteniendo entonces 4,0041623 \ldots, y redondeó a cuatro decimales. Aunque, todo hay que decirlo, la originalidad a la hora de responder no se la quita nadie.


Visto en Ask me math.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

7 Comentarios

  1. Math Machine es lo que utilizábamos en 3º de la ESO para entender lo que era una función… Aún recuerdo a mi profesor diciendo “la función es una máquina donde vas introduciendo la antiimagen por la cinta transportadora y te sale la imagen”.

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  2. Yo creo que usó Wolfram|Alpha. Sin dudas. Por lo menos eso quiero pensar, que fue lo suficientemente avivado.

    Saludos.

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  3. Contestando bien al primer ejercicio, sin duda el dibujo es una broma amable. Tal vez el mismo profesor haya dado idea de una función como mecanismo de producir números a la salida a partir de número en la entrada.

    Yo le rebajaría algo por no poner los cálculos intermedios, pero nada más.

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  4. También este tipo de cuestiones como la del partado b), ya sea en cálculo de una o varias variables, hoy en día son un poco inútiles. No me doy por defensor del uso de calculadoras, pero estaremos de acuerdo en que estas aproximaciones explícitas de primer orden (método de Euler) tienen interés a lo sumo desde un punto de vista teórico.

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  5. mmm digo yo, ¿no sería necesario demostrar que el orden del error de la aproximación lineal es menor a lo deseado usando el Teorema de Taylor?

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