Y el volumen es…

Vamos con el problema de esta semana, que en este caso es uno que les han propuesto en clase a uno de mis grupos de alumnos:

CilindrosConsideremos dos cilindros iguales de radio R del tamaño suficiente para que sus ejes se intersequen como se observa en la figura de la derecha. El objetivo es calcular el volumen de la región común a ambos cilindros, pero siguiendo los siguientes pasos:

  1. Dibuja la región común a los cilindros (esto no hace falta que lo hagáis, aunque no estaría mal que alguien nos proporcionara una representación de dicha región).
  2. Teniendo en cuenta la simetría de la región obtenida, divide dicha región en 2n lonchas transversales horizontales de altura h y calcula la suma de los volúmenes de todas esas secciones.
  3. Calcula ahora el volumen total de la región utilizando el apartado anterior.

Por si no ha quedado suficientemente claro lo comento aquí: se pide hacer el problema siguiendo los pasos antes descritos. El problema en cuestión se plantea en el tema de series numéricas. Antes de ese tema se ha visto algo sobre números reales y un tema de sucesiones. Por tanto no podéis usar nada más que eso. Ello implica que, por ejemplo, no se permite utilizar integración múltiple para calcular este volumen.

Ánimo y a por él.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

16 Comentarios

  1. Otra forma similar de resolverlo:
    En dicho volumen o “región común” podemos inscribir una esfera de radio R.
    Si tomamos planos paralelos al plano que definen los ejes de los cilindros, cortamos a la “región común” formando cuadrados; así mismo cortan a la esfera inscrita en círculos incritos a los cuadrados.
    Así vemos que la relación de las áreas del cuadrado y del círculo inscrito es la mísma que la relación del volumen de la “región común” y de la esfera inscrita. Esta relación es 4/pi.
    El volumen, cómo dice Alvaro, es 16/3*r^3

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  2. Buena ocasión para recordar que hace pocos meses ha salido el segundo y último volumen de los tratados de Arquímedes (en la Biblioteca Clásica Gredos), donde se enuncia el resultado en el prólogo de “El método”:

    “si en un cubo se inscribe un cilindro con sus bases en los paralelogramos opuestos y su superficie tangente a los cuatro planos restantes, y en el mismo cubo se inscribe otro cilindro con sus bases en otros paralelogramos y su superficie tangente a los cuatro planos restantes, la figura comprendida por la superficie de los cilindros que está en ambos cilindros es dos tercios de todo el cubo”

    (Arquímedes. Tratados II, Gredos, 2009. (BCG 378) pag 273).

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  3. Esto…¿alguien podría resolver el problema siguiendo los pasos que se muestran en el enunciado? O al menos si se da una solución dar también el desarrollo que nos ha llevado a ella. Más que nada para que la gente que no tiene mucha idea de cómo meterle mano pueda entenderlo.

    Gracias 🙂

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  4. Un problema clásico precioso. La cosa se complica bastante cuando los cilindros tienen distinto radio.

    Para este caso, vamos a considerar la mitad superior de la región y hacemos los cortes a altura x_k=\frac{k}{n}\cdot R, 0\leq k\leq n. Se forman así n+1 cuadrados cuyos vértices están en la circunferencia inscrita común a los dos cilindros. El lado de cada cuadrado mide 2\sqrt{R^2-x_k^2} (los vértices se sacan de resolver x^2+y^2=R^2 y x^2+z^2=R^2).

    El volumen de la mitad superior de la figura será aproximadamente la suma de las áreas de los cuadrados por la altura que separa cada corte (R/n). Tenemos:

    \displaystyle{\sum_{k=0}^n 4(R^2-x_k^2)\cdot R/n}=\frac{4R^3}{n}\sum_{k=0}^n (1-k^2/n^2)=4R^3(1-\frac{(n+1)(2n+1)}{6n^2}).

    Y este valor tiende a 8R^3/3 cuando n\to \infty.

    ¿Y el área común a tres cilindros, cada uno con directrices paralelas a cada eje coordenado?

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  5. Hola a todos. Me he pasado buen rato en un problema y aún no he dado con él. Agradecería mucho el que me echéis una mano.
    “Dada una sucesión decreciente tal que su serie converge, probar que la sucesión cuyo término enésimo es ‘n’ veces el término enésimo de la sucesión original, tiende a 0”. Gracias.

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  6. El volumen de la región común a dos cilindros que se cortan formando un ángulo genérico \alpha\in [0,\frac{\pi}{2}] es V=\dfrac{16}{3\sin \alpha}R^3 (pensaba que saldría algo más llamativo).

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  7. Para Jose:

    muy sencillo, si una sucesión converge, quiere decir que cuando n tiende a infinito, su valor tiende a cero. Por tanto, si multiplicas por n ese valor, seguirá siendo cero.

    Ya sé que no lo he demostrado matemáticamente, pero intuitivamente está bien, no? Estudio químicas, y mi aproximación a la matemática es puramente por curiosidad.

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  8. Gracias por responder Korp, pero lamento decirte que el problema no es tan simple. La dificultad estriba en controlar el crecimiento de ‘n’ a través de la sucesión original. El error estriba en que, si bien es cierto, la sucesión va a cero, n va al infinito de lo cual no puede deducirse nada. Para ello debes usar las hipótesis 🙂

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  9. Jose, se puede hacer sumación por partes (la palabra sumación está en el diccionario?? 😀 ):

    \sum_{n=0}^\infty a_n=\sum_{n=0}^\infty (n+1)(a_n-a_{n+1}), donde la segunda serie es de términos positivos y es convergente (por serlo la primera). En particular

    \lim_{n\to \infty} \sum_{k=n}^\infty a_k=0 y
    \lim_{n\to \infty} \sum_{k=n}^\infty (k+1)(a_k-a_{k+1})=0.

    Restando, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=n}^\infty (k\cdot a_k-(k+1)a_{k+1})=0,

    y es que la suma que aparece dentro de este último límite es precisamente n\cdot a_n.

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  10. M, esta última demostración de que si $\sum_k a_k$ es convergente el límite de $na_n$ es cero no es del todo correcta, un contraejemplo es la serie convergente $\sum\frac{(-1)^n}{n}$,la convergencia puede ser probada por el criterio de Dirichlet. El problema es que usas repetidamente la reordenación de una serie, y eso solo se puede realizar en caso de convergencia absoluta, es más, hay un resultado de Weierstrass que demuestra que dada una serie convergente pero no absolutamente convergente puede ser reordenada de forma que sume cualquier real fijado. Por eso para hacer la sumación por partes se ha de requerir o bien convergencia absoluta.

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  11. Mikeltro, la condición de monotonía es fundamental. Por eso la prueba que indiqué es correcta. La sucesión que define la serie armónica alternada no es monótona y por eso lo que comentas es algo diferente a lo que pedía Jose. En el caso que pedía Jose, se deduce que también que la serie es de términos positivo, y por eso es correcta la prueba. Si quitas la monotonía, efectivamente la conclusión no tiene porqué darse.

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  12. Argh, recuerdo ese mismo problema, pero de la asignatura de integrales. Qué horrible fue intentar dibujar esa figura.

    Saludos!

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