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Construcciones con regla y compás (III): Los polígonos regulares

Ir a Construcciones con regla y compás (II) [1]

Terminamos esta serie dedicada a las construcciones con regla y compás con un artículo sobre la relación de éstas con los polígonos regulares.

La pregunta es sencilla: ¿se pueden construir todos los polígonos regulares con regla y compás siguiendo las reglas que hemos establecido para estas construcciones? Vamos a ver la construcción de los mismos partiendo de unos ejes coordenados y dos puntos A y B:

Polígono regular de 3 lados: Triángulo equilátero

Es el polígono regular con menor número de lados que podemos tener. Su construcción es muy sencilla:

Trazamos una circunferencia con centro en A y radio AB y otra con centro en B y mismo radio. Esas dos circunferencias se cortan en dos puntos.Tomamos uno de ellos, digamos P. Trazando los segmentos AP y PB obtenemos el triángulo equilátero APB.

Triángulo Equilátero

Polígono regular de 4 lados: Cuadrado

La construcción del cuadrado también es sencilla:

Trazamos una circunferencia con centro en A y radio AB. Esa circunferencia corta al eje Y en dos puntos. Tomamos uno de ellos, digamos P. Trazamos la recta paralela al eje X que pasa por P y la recta paralela al eje Y que pasa por B. El punto de corte de las mismas, digamos Q, es el vértice que nos faltaba. Trazando los segmentos AP, PQ y QB obtenemos nuestro cuadrado.

Cuadrado

Polígono regular de 5 lados: Pentágono regular

La construcción del pentágono es algo más complicada que las anteriores, pero sigue siendo ciertamente asequible:

Trazamos la paralela al eje Y que pasa por B, digamos r. Se traza la mediatriz del segmento AB obteniendo el punto O como corte con el eje X. Trazamos la circunferencia de centro B y radio AB, digamos C1. Obtenemos el punto M como corte de C1 con la recta r. Con centro en O trazamos la circunferencia de radio OM, C2, obteniendo el punto S de corte con el eje X. Trazamos ahora la circunferencia de centro A y radio AS, C3. Obtenemos el punto P al cortar con C1 y el punto Q como corte con la mediatriz del segmento AB. Para obtener el vértice que nos falta, R, simplemente construimos el punto simétrico a P respecto de la mediatriz del segmento AB. Uniendo los vértices obtenemos el pentágono regular buscado.

Pentágono regular

Polígono regular de 6 lados: Hexágono regular

La construcción del hexágono regular es bastante sencilla. La vemos:

Con radio AB trazamos circunferencias con centro A y B. Tomamos uno de los puntos de corte, digamos O. Ese es el centro del hexágono. Trazamos ahora la circunferencia de centro O y radio OA. Obtenemos los puntos P y Q como cortes con las circunferencias anteriores y R como corte con el eje Y. Trazando la paralela al eje Y que pasa por B obtenemos el último vértice, S, como corte de esta recta y la circunferencia trazada justo antes. Uniendo los vértices obtenemos el hexágono regular buscado.

Hexágono regular

Polígono regular de 7 lados: Heptágono regular

El heptágono regular no es construible con regla y compás. Vamos a ver por qué:

Viendo las construcciones anteriores de otra forma, mediante la relación de los puntos del plano con los números complejos, para construir un polígono regular de n lados debe ser construible el número complejo z=cos(\frac{2\pi}{n})+i \cdot sen(\frac{2\pi}{n}). En el caso del heptágono debería ser construible el punto z=cos(\frac{2\pi}{7})+i \cdot sen(\frac{2\pi}{7}). Tenemos que el polinomio x^7-1 tiene a z como raíz. La descomposición en polinomios irreducibles en \mathbb{Q} queda así: (x-1)(x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1). Como z no es raíz de (x-1) debe serlo del otro factor. Pero el grado del mismo es 6, y ya vimos que para que un punto fuera construible el grado de su polinomio mínimo irreducible en \mathbb{Q} debía ser una potencia de 2. Por tanto no podemos construir el número complejo z y en consecuencia tampoco el heptágono regular.

Ya hemos encontrado el primero que no puede construirse con regla y compás. Si continuáramos nos daríamos cuenta de que el polígono regular de 8 lados sí es construible pero el de 9 lados no lo es. Y ahora la pregunta es bastante evidente: ¿sabemos qué polígonos regulares son construibles con reglas y compás? Por suerte . Y nuestro idolatrado Gauss es uno de los principales culpables, probablemente el que más. Vamos con el resultado:

Teorema: (Construcción de polígonos regulares con regla y compás)

Un polígono regular de n lados es construible con regla y compás en el sentido expuesto si y sólo si la descomposición en factores primos de n es de la forma

n=2^r \cdot p_1 \cdot \ldots \cdot p_k

siendo r \ge 0 y los p_i primos de Fermat [2] distintos entre sí (recordemos que un primo de Fermat es un número primo que sea de la forma 2^{2^n}+1).

Es decir, que un polígono regular es construible si el número de lados del mismo es una potencia de 2, un primo de Fermat o producto de una cierta potencia de 2 (pudiendo ser 2^0=1) y varios primos de Fermat distintos. Y lo mejor del teorema es que es un si y sólo si, es decir, tenemos totalmente determinados los polígonos regulares que podemos construir con regla y compás. Así el triángulo (3=2^{2^0}+1), el cuadrado (4=2^2), el pentágono (5=2^{2^1}+1) y el hexágono (6=2 \cdot (2^{2^0}+1) son construibles con regla y compás pero el heptágono regular (7 \ne 2^{2^n}+1,\forall n) no lo es. Continuando, el octógono regular (8=2^3) sí es construible pero el eneágono regular (9=3^2 \ne 2^{2^n}+1,\forall n) no lo es.

Una de las implicaciones de este teorema fue probada por Gauss y la otra fue demostrada por Pierre Wantzel.

Una de las construcciones de polígonos regulares con regla y compás más conocidas es la del heptadecágono (polígono regular de 17 lados). La primera demostración de que esta construcción es posible se debe también a Gauss que la encontró cuando contaba con 19 años de edad, aunque parece ser que la primera construcción física de este polígono se debe a Johannes Erchinger. Parece ser que el hecho de encontrar la solución a este problema (que aparece en la sección VII de Disquisitiones Arithmeticae [3]) hizo que Gauss se decantara por las Matemáticas en vez de por la Filosofía. Puede ser que sea ésta la razón por la que mandó que se grabara un heptadecágono en su tumba, aunque al final el albañil encargado del asunto, al ver la dificultad de la construcción y que apenas se distinguiría de un círculo, terminó grabando una estrella de 17 picos (Fuente: Dios creó los números, de Stephen Hawking). Al final del artículo tenéis un enlace a una página donde, entre otros, podéis ver cómo construir un heptadecágono con regla y compás.

De hecho 17 es el tercer primo de Fermat. Los cinco primeros (y los únicos que se conocen) son 3,5,17,257 y 65537, del cual ya hablamos hace unos días [4]. La primera construcción que se conoce de este monstruo de polígono se debe a Johann Hermes y data de 1894, después de 10 años de trabajo. Si la construcción es correcta valió la pena tanto esfuerzo.

Y para terminar algo de información para los retos que nos lanzó Domingo en este comentario del primer post de la serie [5]:

Fuentes de los 3 artículos

Ir a Construcciones con regla y compás (IV) [12]