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La banda de Möbius: cuánto juego da una sola cara

Introducción

La banda (o cinta) de Möbius (o Moebius) es una superficie con una sola cara y un solo borde que además es no orientable. Fue descubierta de forma independiente por los matemáticos alemanes August Ferdinand Möbius y Johann Benedict Listing.

Construcción de la banda de Möbius

Topológicamente hablando la banda de Möbius es un espacio topológico cociente. ¿Qué es eso? Pues más o menos es el resultado de aplicar una relación de equivalencia…

INCISO: Una relación de equivalencia es una forma de identificar elementos de un conjunto (cumpliendo ciertas propiedades), es decir, de agrupar los elementos de un conjunto en distintos subconjuntos (denominados clases de equivalencia) tal que en cada subconjunto cada par de elementos cumple la propiedad definida por la relación. Recomiendo este post de El Cedazo en el que se explica el tema con más detenimiento.

…sobre un conjunto (en este caso sobre un espacio topológico, pero no nos hace falta saber exactamente qué es eso). En este caso concreto el conjunto es el cuadrado \left [ 0,1 \right ] \times \left [ 0,1 \right ] y la relación de equivalencia es la siguiente:

(x,y) \; R \; (x^\prime,y^\prime) \Leftrightarrow \begin{cases} (x,y)=(x^\prime,y^\prime) \\ \left \lbrace x,x^\prime \right \rbrace =\left \lbrace 0,1 \right \rbrace, y^\prime=1-y \end{cases}

Esta relación hace lo siguiente:

- Identifica los puntos del interior del cuadrado (los que no están en ningún borde) y los de los bordes superior e inferior consigo mismos, vamos, que los deja igual que están.

- Identifica los puntos del borde izquierdo con los del borde derecho de la siguiente forma: cada punto de la forma (0,m) se identifica con el punto (1,1-m). Por ejemplo, el (0,\textstyle{\frac{1}{3}}) se identifica con el (1,\textstyle{\frac{2}{3}}). En la figura de la derecha se puede ver esta forma de identificar estos puntos atendiendo al sentido de las flechas.

Para construir la banda de Möbius con Mathematica podemos utilizar el siguiente código:

a[s_]:={Cos[s],Sin[s],0};v={0,0,1};
X[t_,s_]:=(2t Cos[s/2]+1-Cos[s/2]) a[s]+(2t-1) Sin[s/2] v;
ParametricPlot3D[Evaluate[X[t,s]],{t,0.3,.7},{s,0,2 Pi},PlotPoints->30,Axes->False,Boxed->False]

quedando la siguiente figura:

¿Podemos construir esta superficie en la vida real? Sí, y además de forma muy sencilla:

Tomamos una tira de papel (en la definición hablamos de un cuadrado, pero vale cualquier rectángulo), la sujetamos por los extremos de forma que veamos una de sus caras, giramos uno de los extremos hasta que por ese lado veamos la cara que antes no veíamos y a continuación unimos los dos bordes que tenemos en las manos.

Algo así:

En la entrada del edificio de Matemáticas de la Facultad de Ciencias de la Universidad de Granada se puede contemplar una banda de Möbius colgada en una pared:

Y también pueden construirse con LEGO.

Y tan interesante es esta superficie que un gran divulgador como Clifford Pickover ha escrito un libro exclusivamente dedicado a ella, La banda de Möbius, que yo poseo y cuya portada es ésta:

Todavía no lo he leído, pero promete. Si alguien lo tiene y lo ha leído ya que nos cuente algo sobre él.

Propiedades

Como hemos dicho antes, la figura resultante es muy curiosa, tiene una forma algo extraña a primera vista. Como se ha comentado anteriormente, tiene una única cara y un único borde. ¿Cómo podemos comprobar eso? De forma muy sencilla:


Ponemos un dedo en un punto que no esté en el borde de la banda y lo deslizamos a lo largo de la misma. Vemos que así podemos llegar a cualquier otro punto. El caso del borde es el mismo: desde un punto del borde podemos llegar a cualquier otro punto situado también en él.

Un caso contrario a éste, por ejemplo, sería un cilindro hueco de altura h. Tiene claramente dos bordes, el de arriba y el de abajo en la figura. Pero además tiene dos caras: la de dentro y la de fuera.

Curiosidades

La banda de Möbius es una superficie que da mucho juego a la hora de manipularla. Lo que vamos a ver ahora puede servir para que sorprendáis a vuestros amigos en algún momento propicio para este tipo de juegos:

  1. Dibujemos con bolígrafo una línea en el centro de la banda y recortemos con unas tijeras por la misma. ¿Qué obtenemos?

  2. Dibujemos dos líneas que dividan la banda en tres partes iguales y recortemos por una de ellas. ¿Qué obtenemos? ¿Y si cortamos despues por la otra línea?

  3. Dibujemos ahora tres líneas que dividan a la banda en cuatro partes iguales y cortemos por cada una de ellas. ¿Qué obtenemos en cada caso?

Aplicaciones

Bueno, y ahora la pregunta del millón: ¿vale la banda de Möbius para algo en la vida real? Estoy seguro de que muchos de vosotros habéis respondido instantáneamente: NO. Pues estáis equivocados. Bueno, seamos serios, tampoco es que la banda de Möbius sea lo más útil que ha existido en toda la historia, pero alguna aplicación tiene. La que yo veo más clara es la siguiente:

Imaginaos la cadena de una bicicleta, o una correa de distribución, o cualquier cadena que realice un cierto recorrido. Imaginaos que la colocamos de forma, digamos, cilíndrica. ¿Qué ocurriría? Pues que siempre se desgastaría por el mismo sitio, ya que siempre rozaría en los apoyos por la misma cara. La colocamos ahora como una banda de Möbius. Así se desgasta por igual por toda su cara, es decir, conseguimos que el desgaste sea igual en todos los puntos del borde, obteniendo así una mayor duración y por tanto un ahorro.

Si conocéis alguna otra aplicación interesante no tenéis más que comentarla.

Algunos enlaces interesantes sobre el tema:

Hace más de tres años de que Gaussianos cambió de cara y, entre otras cosas, comenzamos a usar logo y favicon cuyo principal motivo es la banda de Möbius. Por ello era casi una obligación dedicarle un artículo a este curioso objeto matemático. Hoy es el día.

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Autor: ^DiAmOnD^  |  Publicado el 23 de agosto de 2011
Categorías: Aprenda como, Topología, Vídeos  |  Imprime este post Imprime este post

42 comentarios

  1. Alberto (almar) | 23 de agosto de 2011 | 10:46

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    Un pequeño comentario (puede que algo largo, pero no importante, en ese sentido digo pequeño): desde el punto de vista topológico no es fácil definir cuándo una superficie tiene una o dos caras, es más: no tiene sentido puesto que una superficie es una variedad de dimensión 2. Lo que tiene sentido es plantearse si una inmersión de una superficie en un espacio topológico tiene una o dos caras (básicamente, y obviando tecnicismos, dotando a la superficie de una dimensión más o engordándola un poquito haciendo uso de la inmersión-la cinta de Möbius fabricada con papel tiene un cierto grosor). En este caso es cierto que toda cinta de Möbius en R³ tiene una sola cara, pero ¿es cierto esto para cualquier inmersión de una cinta de Möbius en cualquier espacio euclídeo? La respuesta es que no: existen inmersiones de cintas de Möbius en ciertos espacios euclídeos que tienen dos caras. No voy a descubrir cómo y dejo abierta esta cuestión para el que esté interesado.

    PS: la respuesta no se obtiene pensando en inmersiones de cintas de Möbius en espacios euclídeos sino en otras variedades, que se saben que admiten inmersión en espacios euclídeos.

  2. 161803398874 | 23 de agosto de 2011 | 10:55

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    Me hace mucha ilusión cada vez que pones fotos de la Facultad de Ciencias de Granada, de la Universidad o de Granada en general.

    Recuerdo cuando de niño, en un libro de matemáticas de primaria venía como curiosidad que existía una figura de una sola cara. Convencido de sacarle algún error a eso (yo tendría entre 8 y 10 años) y siguiendo las instrucciones que venían en el libro me construí unas cuantas e hice los experimentos propuestos, que son los mismos que tú haces en los vídeos excepto el último creo.
    Luego fui enseñándoselo a todo el mundo como el gran descubrimiento que fue para mí.
    Ya estando en la Universidad, y con conocimientos básicos de topología intenté demostrar con más o menos éxito que al hacer el primer experimento (cortar una vez) seguía quedando una figura conexa.
    En definitiva, que me encanta y me parece de lo más curiosa.
    Mucho más la Botella de Klein.
    Por cierto, Francisco José López, Catedrático de la Universidad de Granada en el Departamento de Geometría y Topología, tiene una superficie con su nombre: La “Superficie de López”, o la “Superlópez” como yo la llamo jejeje… Consiste en una figura que es homeomorfa a una Botella de Klein excepto un punto. Éste es el enlace a su página y donde la podéis ver:
    http://www.ugr.es/~fjlopez/
    También poniendo en google “Botella de Klein” y dándole a “Imágenes” su superficie sale de las primeras. Me parecía interesante comentarlo, ya que el Departamento de Geometría y Topología de la Universidad de Granada es de los más prestigiosos y reconocidos del mundo.

  3. gaussianos | 23 de agosto de 2011 | 14:04

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    Interesante comentario Alberto. Creo que en ningún momento he llegado a profundizar tanto en el tema como para saber del tema que comentas.

    161803398874, y no solamente Francisco López tiene una superficie con su nombre. Tengo pensado hablar sobre ello en el blog.

    Y sí, la UGR tiene un departamento de Geometría y Topología realmente brillante.

  4. Miguel Sesma | 23 de agosto de 2011 | 18:02

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    La cinta de las impresoras matriciales y algumas cintas magnéticas son bandas de Moebius. Asi poniendo el cabezal descentrado se usn por dos líneas

  5. Trackback | 23 ago, 2011

    Bitacoras.com

  6. Cuentos Cuanticos | 23 de agosto de 2011 | 19:02

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    Yo no entiendo mucho el comentario de Alberto sobre las dos caras o una cara. Lo que yo suelo entender por eso que se dice pedestremente “tener una cara” es que la variedad es no-orientable. Y la orientabilidad es una característica intrínseca de la variedad, ¿o estoy equivocado?

    De ser así está claro que si uno define una orientación y da una vuelta completa en la variedad de la banda al final tenemos la orientación opuesta. Y eso no puede depender de inmersiones o embeddings.

    ¿Estoy confundido?

    Una gran entrada por cierto.

  7. Trackback | 23 ago, 2011

    La banda de Möbius: cuánto juego da una sola cara

  8. Trackback | 23 ago, 2011

    La banda de Möbius: cuánto juego da una sola cara

  9. Trackback | 23 ago, 2011

    La banda de Möbius: cuánto juego da una sola cara | Noticias - d2.com.es

  10. Javier | 24 de agosto de 2011 | 02:47

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    Si no recuerdo mal, por la razón que cuentas, la cinta transportadora que hay en las cajas de los supermercados está puesta de esta forma.

    Saludos

    Javier

  11. gaussianos | 24 de agosto de 2011 | 02:58

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    Vaya, eso no lo sabía Javier, gracias por tu comentario :) .

  12. Trackback | 24 ago, 2011

    La banda de Möbius: cuánto juego da una sola cara

  13. Leví | 24 de agosto de 2011 | 06:35

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    Disculpen, perdon que interrumpa el hilo, pero me encantaria que me ayudaran, estoy atorado, no se como probar que las funciones simples son densas en L2, con L2, la funciones integrables Lebesgue

  14. Marta | 24 de agosto de 2011 | 10:35

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    Para las aplicaciones de la banda, mirad algunas (hay muchísimas) en:

    1) http://www.daviddarling.info/encyclopedia/M/Mobius_band.html
    PRACTICAL APPLICATIONS

    2) Möbius resistor
    http://en.wikipedia.org/wiki/Möbius_resistor

    3) en la Oficina de patentes de EEUU, http://www.uspto.gov/ se pueden descargar patentes en pdf, http://www.pat2pdf.org/
    Por ejemplo, está la patente 2.479.929 (1949) de Owen H. Harris (correa abrasiva), o la 2.784.834 (1957) de James O. Trinkle (tranporte de material caliente) o la patente 6.723.044, un retractor abdominal que se usa en medicina (http://www.youtube.com/watch?v=oauMUci5gVw) …

    Por no citar las aplicaciones en arte, diseño, arquitectura, etc.

  15. Trackback | 24 ago, 2011

    Möbius ¿Estás ahí? | Cuentos Cuánticos

  16. gaussianos | 24 de agosto de 2011 | 21:29

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    Marta, gracias por la información, un aporte muy interesante :) .

    Por cierto, me voy a tomar la licencia de poner un enlace a un pdf que aparece en tu web:

    Las sorprendentes aplicaciones de la banda de Möbius

    Para el resto, en la web de Marta hay muchas más cosas, sobre la banda de Möbius y sobre otros muchos temas.

  17. Miguel | 25 de agosto de 2011 | 00:26

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    Creo que el primer “avión” de los hermanos Wright usaba una cadena de bicicleta que se retorcía a través de un tubo para que las dos hélices giraran en sentidos contrarios… Creo, no sé si lo he soñado! Alguien lo puede confirmar?

  18. Naharro | 25 de agosto de 2011 | 01:03

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    Un objeto que es una banda de moebius que suele pasar inadvertida son las tipicas correas para las identificaciones que se cuelgan al cuello, con la parte que articula con la tarjeta perpendicular a la banda.

  19. Sebastián | 25 de agosto de 2011 | 01:39

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    Hola! En realidad no sé si ya lo mencionaron (y si es así, pido disculpas): allá por los 90 se hizo en Argentina una película de ciencia ficción llamada Moebius.

    Con sus inevitables fallos, es uno de mis films favoritos.

    Un gran saludo.

  20. Marta | 25 de agosto de 2011 | 07:15

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    Por supuesto que puedes enlazar o usar lo que quieras…, ya sabes lo que opino sobre “mover” la información.
    Gracias por todo tu “curro”.

  21. JAMS | 25 de agosto de 2011 | 09:03

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    Guillermo Pérez Villalta, en un serie de piezas de joyería, de temas mitológicos, utilizó la banda de Moebius con un texto similar a este “todo está dentro de mi” o parecido.
    Así que ya sabemos otra utilidad de la banda: la joyería. Buscaré una foto y os la haré llegar.

  22. Maq | 26 de agosto de 2011 | 22:08

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    Mi detalle preferido es que la superficie límite… o sea, el borde, es un nudo.

  23. Félix | 28 de agosto de 2011 | 01:41

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    Las cintas magnéticas de los microdrives del sinclair zx spectrum y ql eran cintas de moebius, así aprovechaban las dos caras y el motor siempre giraba en un sentido

  24. josejuan | 30 de agosto de 2011 | 08:38

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    Además Félix, permite acceder (en un “tape” bidireccional), desde cualquier posición a cualquier otra posición, moviendo la mitad de la cinta en el peor de los casos (en cualquier otra cinta, el peor caso requiere mover toda la cinta).

  25. Alambique | 7 de septiembre de 2011 | 20:55

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    El artículo es muy interesante, aunque añadiría un matiz que no es fácil encontrar en los libros: la banda que se propone, fabricada en papel, tiene realmente dos caras, la ancha y el canto. Es decir, la sección del papel es rectangular, por lo que hay dos caras: una ancha y la otra estrecha. Al girar 180 grados la sección y cerrrar la banda tenemos dos caras, es decir, dos superficies separadas por dos aristas. Sin embargo, si hacemos la banda de Möbius con un “papel” de sección cuadrada (yo lo hago con una barra prismática de arcilla), pero girando 90º en vez de los 180º típicos del papel, tendremos una sola cara y una sola arista, es decir, un único itinerario que recorre todas las caras hasta llegar al mismo punto sin pasar por el borde. En el caso de una sección de triángulo equilátero, ocurre lo mismo al girar 120º, y con otras secciones poligonales supongo que basta con girar el ángulo 360º/(nº de lados) para conseguir la ansiada cara y arista únicas. Curioso, ¿verdad?

  26. angela | 16 de septiembre de 2011 | 01:48

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    Me compré unos zapatos muy guays un día, y después de un tiempo en casa me puse a investigar sobre ellos pq el patrón de dubujo era muy raro.. resulta q todo él era una cinta MobiÜs. Estan inspirados en esta fricada matemática.

  27. josejuan | 16 de septiembre de 2011 | 09:05

    Vótalo Thumb up 0

    Buen apunte Alambique. :)

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  40. matematico en zapatillas | 1 de enero de 2013 | 22:55

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    Pues con todo el respeto, a mi me parece que eso de que la banda de mobius tenga una sola cara es una solemne tontería, o una p…. mental propia de matemáticos que pierden el contacto con la realidad y empiezan a inventar realidades paralelas, como que si hay más dimensiones, etc. La banda de Mobius tiene dos caras (interna y externa) y una zona de transición que es el bucle retorcido (donde la cara interna se retuerce para FUSIONARSE con la externa y viceversa) que permite saltar de una cara a la otra sin necesidad de atravesar los bordes. Para ejemplificar lo que digo imaginen ahora una banda con dos zonas de transición… Ohhh ahora tenemos la banda pantufliüs que posee dos caras y dos zonas de transición, podemos recorrer una cara sin levantar el lapiz de la banda, y si le damos una tercer vuelta… tenemos la banda de pantumflo-mobiüs una sola cara otra vez y así ad infinitum…
    Cierto es que si la recorremos longitudinalmente acabamos por recorrerla entera, pero no porque tenga una sola superficie sino porque existe un “modo” por el que pasar de una a otra. eso se hace evidente si cogemos una cinta coloreada con diferente color en cada superficie y construimos con ella una supuesta banda de mobiüs: veremos dos superficies que se FUSIONAN en un punto, no una única superficie (aunque nos lo parezca)

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